Considere o sistema abaixo
\begin{aligned} & k x+y+3 k z=2-k \\\ & x+y+k z=k \\\ & x+y+k^{2} z=1 \end{aligned}
Encontre todos os valorcs de k para os quais o sistema tcm a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) não tem solução. Depois disso, determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema em função de k.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em função do parâmetro k:
\begin{aligned} &k\,x + y + 3k\,z = 2 - k,\\\ &x + y + k\,z = k,\\\ &x + y + k^{2}z = 1.
O conteúdo aqui é análise de existência e unicidade de solução de sistemas lineares via determinante e posto (rankeamento), e depois identificação das posições de pivô na matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} k & 1 & 3k\\\\ 1 & 1 & k\\\\ 1 & 1 & k^{2} \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) = k\det\begin{pmatrix}1 & k\\\ 1 & k^{2}\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & k\\\ 1 & k^{2}\end{pmatrix} +3k\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Como \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=0 e \det\begin{pmatrix}1 & k\\\ 1 & k^{2}\end{pmatrix}=k^{2}-k, segue
\det(A) = k\,(k^{2}-k)-(k^{2}-k) = k^{3}-2k^{2}+k = k\,(k-1)^{2}.

Passo 3

  • Se k\neq0 e k\neq1, então \det(A)\neq0 e o sistema tem única solução.
  • Se k=0, então \det(A)=0. Substituindo no sistema obtém-se contradição na terceira equação e não há solução.
  • Se k=1, então \det(A)=0 mas as duas últimas equações coincidem, levando a uma família de soluções (uma variável livre) e infinitas soluções.

Passo 4

Analisando a eliminação de Gauss na matriz aumentada (A\mid b):
  1. Para k\neq0,1 (caso de solução única) os pivôs ficam em
(1,1),\quad(2,2),\quad(3,3).
  1. Para k=1 (infinitas soluções) após zerar abaixo de (1,1) surge pivô em (2,3), logo os pivôs são
(1,1),\quad(2,3).
  1. Para k=0 (sem solução) troca-se a linha 1 com a linha 2 para obter pivô em (1,1), depois surge pivô em (2,2) e na linha 3 fica 0=1 (inconsistência). Os pivôs formais estão em
(1,1),\quad(2,2).

Resposta

a) Única solução para k\neq0 e k\neq1.
b) Infinitas soluções para k=1.
c) Não tem solução para k=0.
Posições de pivô na matriz aumentada:
  • Se k\neq0,1: (1,1), (2,2), (3,3).
  • Se k=1: (1,1), (2,3).
  • Se k=0: (1,1), (2,2).

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