(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{u}, 2 \vec{v}, 3 \vec{w} ) é também base.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LI} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LI}.
( ) Se \vec{u} \perp \vec{v} e \vec{w} \neq \overrightarrow{0}, então, \vec{w}=\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{w}+\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede para marcar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve desigualdade de Cauchy–Schwarz, propriedades de bases e independência linear, e decomposição ortogonal via projeções.

Passo 2

A desigualdade
|\vec{u}\cdot\vec{v}|\le\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|
é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz em espaços com produto interno, logo é verdadeira.

Passo 3

Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base, então é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço. Multiplicar cada vetor por escalar não nulo preserva independência e geração, portanto (\vec{u},2\vec{v},3\vec{w}) também é base. Isso é verdadeiro.

Passo 4

O fato de (\vec{u},\vec{v}) ser linearmente independentes não garante que ao acrescentar \vec{w} o triplo permaneça independente (por exemplo, se \vec{w} for combinação de \vec{u} e \vec{v}). Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

A identidade
\vec{w}=\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{w}+\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}
só vale sempre quando \vec{u} e \vec{v} formam uma base ortonormal do espaço ou, pelo menos, geram o subespaço que contém \vec{w}. Sem essa garantia, a soma das projeções não recupera \vec{w} geral. Logo é falsa.

Resposta

(V)
(V)
(F)
(F)

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