(Questão 01) [2,0 pontos] Assinale
para as afirmações FALSAS e
para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Para quaisquer vetores
.
( ) Se (
) é base, então (
) é também base.
( )
.
( ) Se
e
, então,
.
( ) Para quaisquer vetores
( ) Se (
( )
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para marcar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve desigualdade de Cauchy–Schwarz, propriedades de bases e independência linear, e decomposição ortogonal via projeções.
Passo 2
A desigualdade
é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz em espaços com produto interno, logo é verdadeira.
Passo 3
Se
é base, então é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço. Multiplicar cada vetor por escalar não nulo preserva independência e geração, portanto
também é base. Isso é verdadeiro.
Passo 4
O fato de
ser linearmente independentes não garante que ao acrescentar
o triplo permaneça independente (por exemplo, se
for combinação de
e
). Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
A identidade
só vale sempre quando
e
formam uma base ortonormal do espaço ou, pelo menos, geram o subespaço que contém
. Sem essa garantia, a soma das projeções não recupera
geral. Logo é falsa.
Resposta
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)