Fazer uma pesquisa sobre vetores linearmente dependentes e linearmente independentes (conceitos e pelo menos 3 exemplos).
Passo 1
O enunciado pede que a gente faça uma pesquisa sobre vetores linearmente independentes e linearmente dependentes, apresentando os conceitos e pelo menos três exemplos. Vamos cobrir: definição de independência, definição de dependência, critério de verificação e exemplos concretos.
Passo 2
Definição de vetores linearmente independentes: num espaço vetorial
, um conjunto de vetores
é dito linearmente independente se a única forma de obter a combinação
é tomando todos os escalares
.
Passo 3
Definição de vetores linearmente dependentes: o mesmo conjunto
é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tais que
com pelo menos um
. Em outras palavras, algum vetor é combinação linear dos outros.
Passo 4
Critério prático (via posto): se montarmos a matriz cujas colunas são esses vetores e o posto dessa matriz for menor que o número de vetores, então eles são dependentes; se o posto for igual ao número de vetores, eles são independentes.
Passo 5
Exemplo 1 (linearmente independente em
):
Aqui qualquer combinação
força
e
, logo são independentes.
Passo 6
Exemplo 2 (linearmente dependente em
):
Note que
. A combinação não trivial
mostra a dependência.
Passo 7
Exemplo 3 (mais vetores que a dimensão, em
):
Aqui temos quatro vetores em
, mas o posto da matriz de colunas é no máximo 3. De fato
logo existe combinação não trivial que dá zero e o conjunto é dependente.
Resposta
Definições e exemplos apresentados conforme solicitado:
• Vetores linearmente independentes: única combinação linear nula é trivial
para todo
.
• Vetores linearmente dependentes: existe combinação não trivial que dá o vetor zero.
• Critério via posto da matriz de colunas.
• Vetores linearmente dependentes: existe combinação não trivial que dá o vetor zero.
• Critério via posto da matriz de colunas.
Exemplos:
-
e em são independentes. -
e em são dependentes . - Quatro vetores em
, por exemplo , são dependentes porque um deles é soma dos três primeiros.