Fazer uma pesquisa sobre vetores linearmente dependentes e linearmente independentes (conceitos e pelo menos 3 exemplos).

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça uma pesquisa sobre vetores linearmente independentes e linearmente dependentes, apresentando os conceitos e pelo menos três exemplos. Vamos cobrir: definição de independência, definição de dependência, critério de verificação e exemplos concretos.

Passo 2

Definição de vetores linearmente independentes: num espaço vetorial V, um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é dito linearmente independente se a única forma de obter a combinação
a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_kv_k = 0
é tomando todos os escalares a_1=a_2=\cdots=a_k=0.

Passo 3

Definição de vetores linearmente dependentes: o mesmo conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tais que
a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_kv_k = 0
com pelo menos um a_i\neq0. Em outras palavras, algum vetor é combinação linear dos outros.

Passo 4

Critério prático (via posto): se montarmos a matriz cujas colunas são esses vetores e o posto dessa matriz for menor que o número de vetores, então eles são dependentes; se o posto for igual ao número de vetores, eles são independentes.

Passo 5

Exemplo 1 (linearmente independente em \mathbb{R}^2):
v_1 = (1,0),\quad v_2 = (0,1).
Aqui qualquer combinação a_1(1,0)+a_2(0,1)=(0,0) força a_1=0 e a_2=0, logo são independentes.

Passo 6

Exemplo 2 (linearmente dependente em \mathbb{R}^2):
u_1 = (1,2),\quad u_2 = (2,4).
Note que u_2 = 2\,u_1. A combinação não trivial (-2)u_1 + 1\,u_2 = 0 mostra a dependência.

Passo 7

Exemplo 3 (mais vetores que a dimensão, em \mathbb{R}^3):
w_1=(1,0,0),\quad w_2=(0,1,0),\quad w_3=(0,0,1),\quad w_4=(1,1,1).
Aqui temos quatro vetores em \mathbb{R}^3, mas o posto da matriz de colunas é no máximo 3. De fato
w_4 = w_1 + w_2 + w_3,
logo existe combinação não trivial que dá zero e o conjunto é dependente.

Resposta

Definições e exemplos apresentados conforme solicitado:
• Vetores linearmente independentes: única combinação linear nula é trivial a_i=0 para todo i.
• Vetores linearmente dependentes: existe combinação não trivial que dá o vetor zero.
• Critério via posto da matriz de colunas.
Exemplos:
  1. (1,0) e (0,1) em \mathbb{R}^2 são independentes.
  2. (1,2) e (2,4) em \mathbb{R}^2 são dependentes 2\,(1,2) - (2,4)=0.
  3. Quatro vetores em \mathbb{R}^3, por exemplo (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1), são dependentes porque um deles é soma dos três primeiros.

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