( 3,2 pontos) Considere a função f(x, y, z)=a x^{2}+a x y+2 x+y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z.
(a) ( 0,8 ponto) Calcule as condições que determinam os pontos críticos de f(x, y, z).
(b) ( 0,8 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam x^{*}, y^{*} e z^{*} como funções de a ?
(c) ( 0,8 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam um ponto de mínimo local estrito de f(x, y, z) ?
(d) ( 0,8 ponto) Assumindo as condições encontradas nos itens anteriores, calcule pela regra de Cramer o impacto de uma variação em a sobre x^{*}, y^{*} e z^{*}.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=a x^{2}+a x y+2 x+y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z
e pede: (a) encontrar as equações dos pontos críticos via derivadas parciais; (b) condição em a para essas equações definirem x^*,y^*,z^* únicos; (c) condição para que esse ponto seja mínimo local estrito; (d) usando a regra de Cramer, o efeito de uma variação em a sobre x^*,y^*,z^*. Vamos precisar de cálculo de derivadas, álgebra linear (determinantes) e testes de definitude de matriz.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
onde (\det A)'=14-16a,\;(\det A_x)'=-12a, assim obtém-se explicitamente \,dx^*/da. De maneira análoga calcula-se \,dy^*/da e \,dz^*/da substituindo (\det A_y)'=24a+16 e (\det A_z)'=-4a+8.
Resposta
(a) As equações dos críticos são
2a x + a y + 2=0,\quad a x + 2y - 3z=0,\quad -3y + 8z -2a=0.