1. ( 3,2 pontos) Considere a função f(x, y, z)=a x^{2}+a x y+2 x+y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z.
    (a) ( 0,8 ponto) Calcule as condições que determinam os pontos críticos de f(x, y, z).
    (b) ( 0,8 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam x^{*}, y^{*} e z^{*} como funções de a ?
    (c) ( 0,8 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam um ponto de mínimo local estrito de f(x, y, z) ?
    (d) ( 0,8 ponto) Assumindo as condições encontradas nos itens anteriores, calcule pela regra de Cramer o impacto de uma variação em a sobre x^{*}, y^{*} e z^{*}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=a x^{2}+a x y+2 x+y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z
e pede: (a) encontrar as equações dos pontos críticos via derivadas parciais; (b) condição em a para essas equações definirem x^*,y^*,z^* únicos; (c) condição para que esse ponto seja mínimo local estrito; (d) usando a regra de Cramer, o efeito de uma variação em a sobre x^*,y^*,z^*. Vamos precisar de cálculo de derivadas, álgebra linear (determinantes) e testes de definitude de matriz.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=2a x + a y + 2=0,
\frac{\partial f}{\partial y}=a x + 2y - 3z=0,
\frac{\partial f}{\partial z}=-3y + 8z -2a=0.
Isso gera o sistema linear
\begin{pmatrix} 2a & a & 0\\\ a & 2 & -3\\\\ 0 & -3 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 2a\end{pmatrix}.

Passo 3

Para que exista solução única \,(x^*,y^*,z^*) esse sistema deve ter determinante não-nulo.
\det A =\det \begin{pmatrix} 2a & a & 0\\\ a & 2 & -3\\\\ 0 & -3 & 8 \end{pmatrix} =2a\,(2\cdot8-(-3)\cdot(-3)) - a\,(a\cdot8-0\cdot(-3)) =14a-8a^{2} =a\,(14-8a)\neq0.
Logo a condição é
a\neq0 \quad\text{e}\quad a\neq\frac{14}{8}=\frac{7}{4}.

Passo 4

Para que f tenha mínimo local estrito em (x^*,y^*,z^*), sua Hessiana H=A deve ser definida positiva. Pelos menores principais:
  1. D_{1}=2a>0 \implies a>0.
  2. D_{2}=\det\!\begin{pmatrix}2a&a\a&2\end{pmatrix}=4a-a^{2}=a(4-a)>0 \implies 0<a<4.
  3. D_{3}=\det A=a(14-8a)>0 \implies 14-8a>0 e a>0 \implies 0<a<\tfrac{7}{4}.
    Concluímos
0<a<\frac{7}{4}.

Passo 5

Pela regra de Cramer, escrevemos
x^*=\frac{\det A_x}{\det A},\quad y^*=\frac{\det A_y}{\det A},\quad z^*=\frac{\det A_z}{\det A},
onde A_x é A com a primeira coluna trocada pelo vetor \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 2a\end{pmatrix}, etc. Calcula-se
\det A=-\,a\,(8a-14), \quad \det A_x= -6a^2-14, \quad \det A_y=12a^2+16a, \quad \det A_z=-2a^2+8a+6.
Logo
x^*=-\frac{6a^2+14}{a(14-8a)}, \quad y^*=\frac{12a^2+16a}{a(14-8a)}, \quad z^*=\frac{-2a^2+8a+6}{14-8a}.
Para ver o impacto de uma pequena variação em a, usamos a derivada
\frac{dx^*}{da} =\frac{\bigl(\det A_x\bigr)'\,\det A-\det A_x\,(\det A)'}{(\det A)^2},
onde (\det A)'=14-16a,\;(\det A_x)'=-12a, assim obtém-se explicitamente \,dx^*/da. De maneira análoga calcula-se \,dy^*/da e \,dz^*/da substituindo (\det A_y)'=24a+16 e (\det A_z)'=-4a+8.

Resposta

(a) As equações dos críticos são
2a x + a y + 2=0,\quad a x + 2y - 3z=0,\quad -3y + 8z -2a=0.
(b) Para solução única:
a\neq0,\quad a\neq\frac{7}{4}.
(c) Para mínimo estrito:
0<a<\frac{7}{4}.
(d) Pelas fórmulas de Cramer,
x^*=-\frac{6a^2+14}{a(14-8a)},\; y^*=\frac{12a^2+16a}{a(14-8a)},\; z^*=\frac{-2a^2+8a+6}{14-8a},
e então
\frac{dx^*}{da} =\frac{-12a\,(a(14-8a))-( -6a^2-14)(14-16a)}{\bigl(a(14-8a)\bigr)^2},
com expressões análogas para \,dy^*/da e \,dz^*/da.

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