Considere o mesmo sistema acima. Agora uma fonte AC alimenta o circuito com uma corrente oscilatória
(corrente positiva no sentido anti-horário). Tanto o trilho preto como a barra marrom experimentam força magnética,
, porém apenas a barra está livre para se mover em resposta a essa força.
(b) Verifique que
satisfaz a eq. de Newton com condição inicial
(barra inicialmente parada a uma distância
da extremidade esquerda).
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede que verifiquemos uma solução proposta.
- Corrente no circuito:
(corrente positiva no sentido anti-horário). - Força magnética sobre um segmento de fio:
. - Apenas a barra marrom (de massa
e comprimento ) está livre para se mover; o trilho preto é fixo. - Condições iniciais da barra:
e (barra inicialmente parada a uma distância da extremidade esquerda). - Solução proposta a ser verificada:
A tarefa: mostrar que essa
satisfaz a equação de Newton para a barra e as condições iniciais dadas.
Passo 2
Escrever a equação de movimento da barra (Newton 2ª lei) usando a força magnética.
- A força magnética sobre a barra tem magnitude igual a
porque tem comprimento e quando e são perpendiculares. (Aqui estamos tomando a direção positiva de no sentido que a força empurra a barra — isto é consistente com a orientação dada.) - Substituindo
, a componente da força na direção vale
- Pela 2ª lei de Newton, tomando
como coordenada da barra,
Essa é a equação diferencial que a posição
deve satisfazer.
Passo 3
Preparar a verificação calculando derivadas de
. Para simplificar, defina o coeficiente
Assim a solução proposta fica
Agora calcule a velocidade
usando a regra da cadeia:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Calcule a aceleração
derivando novamente:
- Derivada de
é .
Logo
Passo 4
Multiplique
por
e mostre que a equação de Newton é atendida.
- Usando
,
- Simplificando os fatores
e ,
- Como
, obtemos exatamente a equação
que é a equação de movimento escrita no Passo 2. Portanto a função proposta satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Verificar as condições iniciais.
- Para
,
portanto
como exigido.
- A velocidade inicial é
portanto
também é satisfeita.
Passo 6
Conclusão: mostramos passo a passo que a função proposta tem aceleração que dá a força magnética correta e ainda satisfaz as condições iniciais; logo a proposta é uma solução válida da equação de Newton para esse problema.