Considere o mesmo sistema acima. Agora uma fonte AC alimenta o circuito com uma corrente oscilatória I(t)=I_{0} \cos (\omega t) (corrente positiva no sentido anti-horário). Tanto o trilho preto como a barra marrom experimentam força magnética, \mathbf{F}=I \Delta \mathbf{L} \times \mathbf{B}_{0}, porém apenas a barra está livre para se mover em resposta a essa força.
(b) Verifique que x(t)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}[1-\cos (\omega t)]+b satisfaz a eq. de Newton com condição inicial x(0)=b, v(0)=0 (barra inicialmente parada a uma distância b da extremidade esquerda).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede que verifiquemos uma solução proposta.
  • Corrente no circuito: I(t)=I_{0}\cos(\omega t) (corrente positiva no sentido anti-horário).
  • Força magnética sobre um segmento de fio: \mathbf{F}=I\,\Delta\mathbf{L}\times\mathbf{B}_{0}.
  • Apenas a barra marrom (de massa M e comprimento a) está livre para se mover; o trilho preto é fixo.
  • Condições iniciais da barra: x(0)=b e v(0)=0 (barra inicialmente parada a uma distância b da extremidade esquerda).
  • Solução proposta a ser verificada:
x(t)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]+b.
A tarefa: mostrar que essa x(t) satisfaz a equação de Newton para a barra e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Escrever a equação de movimento da barra (Newton 2ª lei) usando a força magnética.
  • A força magnética sobre a barra tem magnitude igual a I\,a\,B_{0} porque \Delta\mathbf{L} tem comprimento a e |\Delta\mathbf{L}\times\mathbf{B}_{0}|=aB_{0} quando \Delta\mathbf{L} e \mathbf{B}_{0} são perpendiculares. (Aqui estamos tomando a direção positiva de x no sentido que a força empurra a barra — isto é consistente com a orientação dada.)
  • Substituindo I(t)=I_{0}\cos(\omega t), a componente da força na direção x vale
F_x(t)=B_{0}\,a\,I_{0}\cos(\omega t).
  • Pela 2ª lei de Newton, tomando x como coordenada da barra,
M\ddot{x}(t)=F_x(t)=B_{0}\,a\,I_{0}\cos(\omega t).
Essa é a equação diferencial que a posição x(t) deve satisfazer.

Passo 3

Preparar a verificação calculando derivadas de x(t). Para simplificar, defina o coeficiente
A=\frac{B_{0}I_{0}a}{M\omega^{2}}.
Assim a solução proposta fica
x(t)=A\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]+b.
Agora calcule a velocidade \dot{x}(t) usando a regra da cadeia:
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de -\cos(\omega t) é -\bigl(-\omega\sin(\omega t)\bigr)=\omega\sin(\omega t).
    Portanto
\dot{x}(t)=A\,\omega\sin(\omega t).
Calcule a aceleração \ddot{x}(t) derivando novamente:
  • Derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t).
    Logo
\ddot{x}(t)=A\,\omega^{2}\cos(\omega t).

Passo 4

Multiplique \ddot{x}(t) por M e mostre que a equação de Newton é atendida.
  • Usando A=\dfrac{B_{0}I_{0}a}{M\omega^{2}},
M\ddot{x}(t)=M\bigl(A\omega^{2}\cos(\omega t)\bigr) = M\left(\frac{B_{0}I_{0}a}{M\omega^{2}}\right)\omega^{2}\cos(\omega t).
  • Simplificando os fatores \omega^{2} e M,
M\ddot{x}(t)=B_{0}I_{0}a\cos(\omega t).
  • Como B_{0}I_{0}a\cos(\omega t)=B_{0}a\,I(t), obtemos exatamente a equação
M\ddot{x}(t)=B_{0}a\,I(t),
que é a equação de movimento escrita no Passo 2. Portanto a função proposta satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Verificar as condições iniciais.
  • Para t=0,
x(0)=A\bigl[1-\cos(0)\bigr]+b=A(1-1)+b=b,
portanto x(0)=b como exigido.
  • A velocidade inicial é
\dot{x}(0)=A\omega\sin(0)=0,
portanto v(0)=0 também é satisfeita.

Passo 6

Conclusão: mostramos passo a passo que a função proposta tem aceleração que dá a força magnética correta e ainda satisfaz as condições iniciais; logo a proposta é uma solução válida da equação de Newton para esse problema.

Resposta

\displaystyle x(t)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]+b

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