Questão 2 - Circuito de Múltiplas Malhas
Dados do circuito:
  • Fonte de tensão: ( \mathrm{E}\_1=20, \mathrm{~V} )
  • Resistores:
  • ( R_1 =5, Omega ))
  • (R_2 =10,1 Omega )
  • ( R_3 = 5,1Omega )
  • Correntes indicadas: ( i_1, i_2, i_3 )
  • Malha M1: (i_1 - i_3 ): ( (x+10), \mathrm{V})
Solicitações:
  1. Escrever as equações das malhas usando as Leis de Kirchhoff

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever as equações das malhas (usando as Leis de Kirchhoff) para o circuito descrito.
Informações dadas (vou listar exatamente o que você passou, em TeX):
\mathrm{E}_1 = 20\\ \mathrm{V}
R_1 = 5\\ \Omega
R_2 = 10,1\\ \Omega
R_3 = 5,1\\ \Omega
Correntes indicadas: i_1,\; i_2,\; i_3.
Também foi dada a anotação “Malha M1: (i_1 - i_3) : ((x+10),\\ \mathrm{V})”. Aqui há ambiguidade: parece indicar uma fonte com tensão (x+10)\\ \mathrm{V} associada ao ramo onde aparecem as correntes i_1 e i_3, mas o enunciado não traz o diagrama do circuito nem especifica em quais ramos estão R_1,R_2,R_3, nem a(s) posição(ões) das fontes (se \mathrm{E}_1 e (x+10) estão em malhas distintas, em ramos compartilhados, orientações, etc.).
Observação essencial: para escrever as equações de malha numéricas (com os valores das resistências e fontes) é indispensável conhecer a topologia do circuito (como os resistores e fontes estão conectados entre si) e a orientação das malhas. Essa topologia não foi informada explicitamente no enunciado que você enviou.

Passo 2

Breve revisão didática: o que é a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL) e o método das correntes de malha.
  • A Lei de Kirchhoff das Tensões diz que, para qualquer malha fechada, a soma algébrica das quedas de tensão é zero. Em linguagem de malhas (usando correntes de malha) isso vira: some as quedas em cada resistor (resistência vezes a corrente relativa naquele ramo) e some as tensões das fontes com o sinal apropriado; o total é zero.
  • No método de correntes de malha definimos uma corrente por malha (aqui i_1,i_2,i_3). Quando um resistor é só da malha k a queda é R\,i_k. Quando um resistor é compartilhado entre duas malhas p e q, a corrente real no resistor é i_p-i_q (se as correntes das malhas têm orientação oposta no ramo), então a contribuição para a equação da malha p é R\,(i_p-i_q).
  • Sinal das fontes: ao percorrer a malha no sentido escolhido, ao atravessar uma fonte de negativo para positivo conta como “+” na soma algébrica (ou equivalentemente contribui com -E se movermos todos para o lado de quedas); o importante é ser consistente com a orientação.
Vou exemplificar com uma equação padrão: para a malha 1 (com auto-resistência R_{11} e compartilhamentos com malha 2 por R_{12} e com malha 3 por R_{13}) a KVL dá, no formato padrão:
R_{11}\,i_1 - R_{12}\,i_2 - R_{13}\,i_3 = V_1
onde V_1 é a soma algébrica das fontes vistas quando percorremos a malha 1 no sentido escolhido (o sinal depende da orientação). Esse é o formato canônico que vamos usar.

Passo 3

Como montar as equações gerais para um circuito com três malhas (sem assumir uma topologia fixa):
Defina os termos genéricos:
  • R_{11} = soma das resistências que pertencem exclusivamente à malha 1 (ou soma das resistências ao redor da malha 1, contadas uma vez).
  • R_{22} = análogo para a malha 2.
  • R_{33} = análogo para a malha 3.
  • R_{12} = resistência do ramo compartilhado entre as malhas 1 e 2 (se existir; se não existir, R_{12}=0).
  • R_{13} = resistência do ramo compartilhado entre as malhas 1 e 3 (se existir; senão R_{13}=0).
  • R_{23} = resistência do ramo compartilhado entre as malhas 2 e 3 (se existir; senão R_{23}=0).
  • V_1,\;V_2,\;V_3 = soma algébrica das fontes (com sinal) que aparecem ao percorrer cada malha no sentido escolhido.
Com essas definições, as equações de malha (forma matricial escalar) ficam:
R_{11}\,i_1 - R_{12}\,i_2 - R_{13}\,i_3 = V_1
- R_{12}\,i_1 + R_{22}\,i_2 - R_{23}\,i_3 = V_2
- R_{13}\,i_1 - R_{23}\,i_2 + R_{33}\,i_3 = V_3
Explicação do porquê desses termos:
  • O coeficiente na diagonal, por exemplo R_{11}, é a soma de todas as resistências que afetam a malha 1 quando consideramos sua própria corrente (inclui resistores exclusivos da malha e também os compartilhados, pois ao montar R_{11} esses compartilhados aparecem somados para a equação da própria malha).
  • Os coeficientes fora da diagonal, por exemplo -R_{12}, aparecem porque um resistor compartilhado entre malhas 1 e 2 contribui com R\,(i_1-i_2) na equação de malha 1, o que gera +R\,i_1 e -R\,i_2. Na equação da malha 2 aparecerá o simétrico -R_{12}\,i_1 + R_{22}\,i_2.

Passo 4

Aplicando ao seu caso: quais informações faltam e por que não posso escrever as equações numéricas completas?
Faltam as seguintes informações essenciais:
  • Qual a topologia do circuito (como R_1,R_2,R_3 estão conectados — em série entre malhas, em ramos exclusivos, quais são compartilhados por quais malhas).
  • Onde está localizada a fonte \mathrm{E}_1 = 20\\ \mathrm{V} (em qual malha ou ramo).
  • Onde exatamente está a fonte (x+10)\\ \mathrm{V} mencionada junto com “ (i_1-i_3)”: não está claro se é uma fonte em um ramo compartilhado entre M1 e M3, sua orientação, etc.
  • Orientações das malhas (sentido horário ou anti-horário) ajudam a fixar os sinais das fontes.
Sem essa topologia eu não posso atribuir os valores numéricos R_{11},R_{12},\dots nem os termos V_1,V_2,V_3. Fazer isso seria inventar o circuito, o que não devo fazer.

Passo 5

O que você precisa me enviar (ou confirmar) para que eu escreva as equações numéricas de malha imediatamente:
  • Um diagrama do circuito com as três malhas, ou uma descrição inequívoca: por exemplo, “malhas em série: R1 está no ramo esquerdo exclusivo da malha 1; R2 está entre malha 1 e 2; R3 entre malha 2 e 3; E1 está na malha 1 com positivo para cima; a fonte (x+10)V está no ramo que une malha 1 e 3 com polaridade …”.
  • Ou um desenho simples com legendas das resistências, fontes e sentidos das correntes i_1,i_2,i_3.
Enquanto você não enviar isso, a forma correta e rigorosa de responder ao pedido “escrever as equações das malhas” é fornecer o modelo geral (já dado no Passo 3). Se quiser, com uma hipótese plausível e explícita (por exemplo: assumir que R_2 é o resistor compartilhado entre malha 1 e 2, etc.), eu posso montar as equações numéricas rápidas; mas isso seria sob suposições que preciso declarar.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (sem inventar seu circuito): suponha que, por hipótese ilustrativa, o circuito seja de três malhas em linha onde
  • R_1 está somente na malha 1,
  • R_2 está entre malha 1 e malha 2 (compartilhado),
  • R_3 está entre malha 2 e malha 3 (compartilhado),
  • e que \mathrm{E}_1=20\\ \mathrm{V} está na malha 1 e a fonte (x+10)\\ \mathrm{V} está em um ramo compartilhado entre malha 1 e 3 (só como exemplo).
Nesse caso hipotético os termos seriam:
R_{11} = R_1 + R_2
R_{22} = R_2 + R_3
R_{33} = R_3
R_{12} = R_2,\quad R_{13}=0,\quad R_{23}=R_3
As equações (hipotéticas) ficariam:
(R_1+R_2)\,i_1 - R_2\,i_2 = V_1
- R_2\,i_1 + (R_2+R_3)\,i_2 - R_3\,i_3 = V_2
- R_3\,i_2 + R_3\,i_3 = V_3
Mas reforço: isso é só um exemplo de topologia possível para você ver como se aplica; não posso afirmar que é o seu circuito sem a figura.

Resposta

Não é possível escrever as equações numéricas das malhas porque falta a topologia do circuito (posição/orientação de R_1,R_2,R_3 e das fontes \mathrm{E}_1 e (x+10)\\ \mathrm{V}).
Modelo geral das equações de malha para três malhas (template):
R_{11}\,i_1 - R_{12}\,i_2 - R_{13}\,i_3 = V_1
- R_{12}\,i_1 + R_{22}\,i_2 - R_{23}\,i_3 = V_2
- R_{13}\,i_1 - R_{23}\,i_2 + R_{33}\,i_3 = V_3

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