Questão 2 - Circuito de Múltiplas Malhas
Dados do circuito:
- Fonte de tensão: (
)
- Resistores:
- ( R_1
, Omega
)
- (R_2
Omega )
- ( R_3 = 5,1Omega )
- Correntes indicadas: ( i_1, i_2, i_3 )
- Malha M1: (i_1 - i_3 ): (
Solicitações:
- Escrever as equações das malhas usando as Leis de Kirchhoff
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever as equações das malhas (usando as Leis de Kirchhoff) para o circuito descrito.
Informações dadas (vou listar exatamente o que você passou, em TeX):
Correntes indicadas:
.
Também foi dada a anotação “Malha M1:
:
”. Aqui há ambiguidade: parece indicar uma fonte com tensão
associada ao ramo onde aparecem as correntes
e
, mas o enunciado não traz o diagrama do circuito nem especifica em quais ramos estão
, nem a(s) posição(ões) das fontes (se
e
estão em malhas distintas, em ramos compartilhados, orientações, etc.).
Observação essencial: para escrever as equações de malha numéricas (com os valores das resistências e fontes) é indispensável conhecer a topologia do circuito (como os resistores e fontes estão conectados entre si) e a orientação das malhas. Essa topologia não foi informada explicitamente no enunciado que você enviou.
Passo 2
Breve revisão didática: o que é a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL) e o método das correntes de malha.
- A Lei de Kirchhoff das Tensões diz que, para qualquer malha fechada, a soma algébrica das quedas de tensão é zero. Em linguagem de malhas (usando correntes de malha) isso vira: some as quedas em cada resistor (resistência vezes a corrente relativa naquele ramo) e some as tensões das fontes com o sinal apropriado; o total é zero.
- No método de correntes de malha definimos uma corrente por malha (aqui
). Quando um resistor é só da malha a queda é . Quando um resistor é compartilhado entre duas malhas e , a corrente real no resistor é (se as correntes das malhas têm orientação oposta no ramo), então a contribuição para a equação da malha é . - Sinal das fontes: ao percorrer a malha no sentido escolhido, ao atravessar uma fonte de negativo para positivo conta como “+” na soma algébrica (ou equivalentemente contribui com
se movermos todos para o lado de quedas); o importante é ser consistente com a orientação.
Vou exemplificar com uma equação padrão: para a malha 1 (com auto-resistência
e compartilhamentos com malha 2 por
e com malha 3 por
) a KVL dá, no formato padrão:
onde
é a soma algébrica das fontes vistas quando percorremos a malha 1 no sentido escolhido (o sinal depende da orientação). Esse é o formato canônico que vamos usar.
Passo 3
Como montar as equações gerais para um circuito com três malhas (sem assumir uma topologia fixa):
Defina os termos genéricos:
-
= soma das resistências que pertencem exclusivamente à malha 1 (ou soma das resistências ao redor da malha 1, contadas uma vez). -
= análogo para a malha 2. -
= análogo para a malha 3. -
= resistência do ramo compartilhado entre as malhas 1 e 2 (se existir; se não existir, ). -
= resistência do ramo compartilhado entre as malhas 1 e 3 (se existir; senão ). -
= resistência do ramo compartilhado entre as malhas 2 e 3 (se existir; senão ). -
= soma algébrica das fontes (com sinal) que aparecem ao percorrer cada malha no sentido escolhido.
Com essas definições, as equações de malha (forma matricial escalar) ficam:
Explicação do porquê desses termos:
- O coeficiente na diagonal, por exemplo
, é a soma de todas as resistências que afetam a malha 1 quando consideramos sua própria corrente (inclui resistores exclusivos da malha e também os compartilhados, pois ao montar esses compartilhados aparecem somados para a equação da própria malha). - Os coeficientes fora da diagonal, por exemplo
, aparecem porque um resistor compartilhado entre malhas 1 e 2 contribui com na equação de malha 1, o que gera e . Na equação da malha 2 aparecerá o simétrico .
Passo 4
Aplicando ao seu caso: quais informações faltam e por que não posso escrever as equações numéricas completas?
Faltam as seguintes informações essenciais:
- Qual a topologia do circuito (como
estão conectados — em série entre malhas, em ramos exclusivos, quais são compartilhados por quais malhas). - Onde está localizada a fonte
(em qual malha ou ramo). - Onde exatamente está a fonte
mencionada junto com “ ”: não está claro se é uma fonte em um ramo compartilhado entre M1 e M3, sua orientação, etc. - Orientações das malhas (sentido horário ou anti-horário) ajudam a fixar os sinais das fontes.
Sem essa topologia eu não posso atribuir os valores numéricos
nem os termos
. Fazer isso seria inventar o circuito, o que não devo fazer.
Passo 5
O que você precisa me enviar (ou confirmar) para que eu escreva as equações numéricas de malha imediatamente:
- Um diagrama do circuito com as três malhas, ou uma descrição inequívoca: por exemplo, “malhas em série: R1 está no ramo esquerdo exclusivo da malha 1; R2 está entre malha 1 e 2; R3 entre malha 2 e 3; E1 está na malha 1 com positivo para cima; a fonte (x+10)V está no ramo que une malha 1 e 3 com polaridade …”.
- Ou um desenho simples com legendas das resistências, fontes e sentidos das correntes
.
Enquanto você não enviar isso, a forma correta e rigorosa de responder ao pedido “escrever as equações das malhas” é fornecer o modelo geral (já dado no Passo 3). Se quiser, com uma hipótese plausível e explícita (por exemplo: assumir que
é o resistor compartilhado entre malha 1 e 2, etc.), eu posso montar as equações numéricas rápidas; mas isso seria sob suposições que preciso declarar.
Passo 6
Exemplo ilustrativo (sem inventar seu circuito): suponha que, por hipótese ilustrativa, o circuito seja de três malhas em linha onde
-
está somente na malha 1, -
está entre malha 1 e malha 2 (compartilhado), -
está entre malha 2 e malha 3 (compartilhado), - e que
está na malha 1 e a fonte está em um ramo compartilhado entre malha 1 e 3 (só como exemplo).
Nesse caso hipotético os termos seriam:
As equações (hipotéticas) ficariam:
Mas reforço: isso é só um exemplo de topologia possível para você ver como se aplica; não posso afirmar que é o seu circuito sem a figura.
Resposta
Não é possível escrever as equações numéricas das malhas porque falta a topologia do circuito (posição/orientação de
e das fontes
e
).
Modelo geral das equações de malha para três malhas (template):
Modelo geral das equações de malha para três malhas (template):