Questão 1 - Circuito RC
Dados do circuito:
  • Fonte de tensão: ( \varepsilon =50, \mathrm{~V} )
  • Resistência: ( \mathrm{R}=4 \times 10^{\wedge} 3, Omega ))
  • Capacitor inicialmente descarregado
  • Chave ( S ) fechada em ( \mathrm{t}=0 )
  • Corrente constante em ( \mathrm{t}=120, \mathrm{~ms} )
Solicitações:
  1. Calcular a capacitância ( C )(\mathrm{em} \mu \mathrm{F})

Passo 1

O enunciado pede: calcular a capacitância C (em \mu\mathrm{F}).\n
Dados fornecidos:
\varepsilon=50\\ \mathrm{V}\n
R=4\times10^{3}\\ \Omega\n
O capacitor está inicialmente descarregado (chave fechada em t=0).\n
Foi informada a frase "corrente constante em t=120\\ \mathrm{ms}".\n
A pergunta única é: determinar C em \mu\mathrm{F}.

Passo 2

Vamos lembrar a forma correta da corrente num circuito RC durante a carga (aula rápida e calma).\n
Quando a chave é fechada em t=0 e o capacitor está inicialmente descarregado, a corrente instantânea no circuito durante o carregamento é dada por
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Explicando essa fórmula passo a passo (sem pular etapas):\n
  • \varepsilon é a fonte (tensão em volts).\n
  • R é a resistência (em ohms).\n
  • C é a capacitância (em farads), que queremos achar.\n
  • t é o tempo desde que a chave foi fechada (em segundos).\n
  • A constante de tempo do circuito é \tau=RC (em segundos); ela controla a velocidade com que o capacitor carrega.\n
    Por que essa fórmula? Rápido derivativo intuitivo: a lei das malhas dá \varepsilon - iR - v_C=0. Como i=C\,dv_C/dt, monta-se a equação diferencial RC\,\dfrac{dv_C}{dt}+v_C=\varepsilon. Resolvendo essa EDO com condição inicial v_C(0)=0 obtemos v_C(t)=\varepsilon\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr) e derivando i(t)=C\,dv_C/dt=(\varepsilon/R)e^{-t/(RC)}. Tudo isso só para você guardar a origem da expressão e saber o que cada símbolo significa.

Passo 3

Isolando C na expressão de i(t) (a forma que usaríamos se soubéssemos o valor da corrente em um instante):
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Dividindo ambos os lados por \varepsilon/R vem
e^{-t/(RC)}=\frac{i(t)R}{\varepsilon}.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{RC}=\ln\!\left(\frac{i(t)R}{\varepsilon}\right).
Isolando C:
C=-\frac{t}{R\,\ln\!\left(\dfrac{i(t)R}{\varepsilon}\right)}.
Observações importantes sobre essa fórmula:
  • O argumento do \ln deve estar entre 0 e 1, isto é, \dfrac{i(t)R}{\varepsilon}\in(0,1), porque durante a carga i(t) decai exponencialmente de i(0)=\varepsilon/R para 0.\n
  • Portanto só é possível calcular C se soubermos o valor numérico de i(t) no instante pedido.

Passo 4

Aplicando isso ao enunciado: para obter C numericamente precisamos do valor da corrente em t=120\\ \mathrm{ms}, isto é, do número i(120\\ \mathrm{ms}). O enunciado que você mandou escreve apenas "corrente constante em t=120\\ \mathrm{ms}" — isso não fornece um valor numérico de corrente nem uma fração do valor inicial.\n
Sem o valor numérico de i(120\\ \mathrm{ms}) não há como avaliar a expressão
C=-\frac{t}{R\ln\!\left(\dfrac{i(t)R}{\varepsilon}\right)}
numericamente. Então, com os dados que chegaram até mim, não é possível calcular um valor numérico para C.

Passo 5

Para não te deixar sem saber como proceder na prova, mostro como você faria caso tivesse o valor da corrente — um exemplo numérico ilustrativo. Suponha (apenas como exemplo) que a corrente medida em t=120\\ \mathrm{ms} seja i(120\\ \mathrm{ms})=1{,}25\\ \mathrm{mA}=1{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{A}. Vou calcular C passo a passo com esse valor hipotético:\n
  1. Converta tempo para segundos: t=120\\ \mathrm{ms}=0{,}120\\ \mathrm{s}.\n
  2. Calcule \dfrac{i(t)R}{\varepsilon}:
\dfrac{i(t)R}{\varepsilon}=\dfrac{1{,}25\times10^{-3}\times4\times10^{3}}{50}=\dfrac{5}{50}=0{,}1.
  1. Tome o logaritmo natural: \ln(0{,}1)=-2{,}302585\ldots.\n
  2. Aplique a fórmula:
C=-\frac{0{,}120}{4\times10^{3}\times(-2{,}302585)}=\frac{0{,}120}{4{,}000\times2{,}302585}.
  1. Faça a conta numérica:
C\approx\frac{0{,}120}{9{,}210{,}34}\approx1{,}303\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.
  1. Converta para microfarads:
C\approx13{,}03\\ \mu\mathrm{F}.
Esse exemplo mostrou o procedimento completo: se souberes i(120\\ \mathrm{ms}), basta substituir na fórmula de C e seguir as etapas acima.

Passo 6

Resumo prático para a prova (passo a passo curto que você pode decorar):
  1. Escreva i(t)=\dfrac{\varepsilon}{R}e^{-t/(RC)}.\n
  2. Isole a exponencial e aplique \ln.\n
  3. Chegarás em C=-\dfrac{t}{R\ln\!\left(\dfrac{i(t)R}{\varepsilon}\right)}.\n
  4. Substitua t em segundos, R em ohms, \varepsilon em volts e i(t) em ampères; o resultado fica em farads. Converta para \mu\mathrm{F} multiplicando por 10^{6}.\n
    Não esquece: sem o valor numérico de i(120\\ \mathrm{ms}) não dá para obter C.

Resposta

Não é possível determinar C porque o enunciado não fornece o valor numérico da corrente em t=120\\ \mathrm{ms}.

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