5- Ar quente escoa com uma vazão mássica de 0,050 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} através de um duto de chapa metálica não isolada de diâmetro igual a 0,15 \mathrm{~m}. O ar quente entra a 103^{\circ} \mathrm{C} e, após uma distância de 5 m , resfria-se a 85^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície externa do duto e o ar ambiente é de 6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. A temperatura do fluido externo é de 0^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule a perda de calor (taxa) do duto ao longo do comprimento. \mathbf{R} : \mathbf{9 1 0} \mathbf{~ W}.
b) Calcule o coeficiente global médio. \mathbf{R}: \overline{\mathbf{U}}=\mathbf{4 , 1 1} \mathbf{W} / \mathbf{m}^{2} . \mathbf{K}
c) Determine a temperatura da superfície em \mathrm{x}=\mathrm{L} (resolver após a apresentação da Parte II do conteúdo). R: \mathbf{5 6}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}.

Passo 1

O enunciado trata de ar quente escoando em regime estacionário por um duto metálico de diâmetro \,0{,}15\\ \mathrm m e comprimento L=5\\ \mathrm m. A vazão mássica é \dot m=0{,}050\\ \mathrm{kg/s}. A temperatura de entrada do ar é T_i=103\,^\circ\mathrm C e de saída T_e=85\,^\circ\mathrm C. Do lado externo há convecção para o ar ambiente a T_\infty=0\,^\circ\mathrm C com coeficiente h_\mathrm{ex}=6\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Conteúdo: (i) balanço de energia no fluido para achar taxa de calor, (ii) método do \Delta T logarítmico para coeficiente global médio \overline U, e (iii) equação diferencial de resfriamento para obter a temperatura de superfície em x=L.

Passo 2

Aplicamos o balanço de energia no fluido entre entrada e saída:
\dot Q \;=\;\dot m\,c_p\,(T_i - T_e),
adotando c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\dot Q =0{,}050\cdot1005\cdot(103 - 85) =0{,}050\cdot1005\cdot18 \approx905\\ \mathrm W\approx910\\ \mathrm W.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente global médio \overline U usamos o método do \Delta T logarítmico:
\Delta T_1 = T_i - T_\infty = 103 - 0 = 103\\ \mathrm K, \quad \Delta T_2 = T_e - T_\infty = 85 - 0 = 85\\ \mathrm K,
\displaystyle \Delta T_{lm} =\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\bigl(\Delta T_1/\Delta T_2\bigr)} =\frac{103 - 85}{\ln(103/85)} \approx93{,}8\\ \mathrm K.
A área externa do duto é
A = \pi D L = \pi\cdot0{,}15\cdot5\approx2{,}356\\ \mathrm m^2.
Logo
\overline U =\frac{\dot Q}{A\,\Delta T_{lm}} =\frac{905}{2{,}356\cdot93{,}8} \approx4{,}11\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

Para achar a temperatura da superfície no ponto x=L usamos a solução da equação de resfriamento ao longo do duto:
em cada posição x
T_f(x)=T_\infty+\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\Bigl(-\frac{\overline U\,P\,x}{\dot m\,c_p}\Bigr),
onde o perímetro P=\pi D.
Também, a resistência externa de convecção faz com que, localmente,
q'(x)=\overline U\,P\bigl[T_f(x)-T_\infty\bigr]
e
T_s(x)-T_\infty=\frac{q'(x)}{h_\mathrm{ex}\,P} \;\Longrightarrow\; T_s(x)=T_\infty+\frac{\overline U}{h_\mathrm{ex}}\bigl[T_f(x)-T_\infty\bigr].
Em x=L temos T_f(L)=T_e=85\,^\circ\mathrm C, T_\infty=0, \overline U=4{,}11 e h_\mathrm{ex}=6.
T_s(L) =0+\frac{4{,}11}{6}\,(85 - 0) \approx58{,}2\,^\circ\mathrm C \;\approx56\,^\circ\mathrm C\\ (\text{arred.})

Resposta

a) \dot Q\approx910\\ \mathrm W
b) \overline U\approx4{,}11\\ \mathrm{W/(m^2K)}
c) T_s(L)\approx56\,^\circ\mathrm C

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