4- Considere um sistema para aquecimento de ar a partir do escoamento em um tubo. O ar entra no tubo a uma temperatura de 300 K e uma velocidade média de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tubo possui um comprimento de 3,5 \mathrm{~m} e diâmetro interno de 30 mm , considere um tubo de parede delgada. Externamente ao tubo, vapor saturado condensa a uma temperatura de 350 K. Determinar:
a) o comprimento de entrada hidrodinâmico e térmico.
b) o número de Nusselt, o coeficiente de transferência de calor por convecção e a temperatura média do ar, conforme Tabela a seguir.
\mathrm{x}(\mathrm{m}) Nu \overline{\mathrm{h}}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) \mathrm{T}_{\mathrm{m}(\mathrm{x})}(\mathrm{K}) \mathrm{T}_{\mathrm{m}(\mathrm{x})}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
0,1 \mathbf{1 1 , 6 6} \mathbf{1 0 , 9 4} \mathbf{3 0 6 , 3} \mathbf{3 3 , 1}
1,0
2,0
3,5

Passo 1

O ar entra no tubo a T_{\mathrm{in}}=300\\ \mathrm{K}, velocidade média U=1{,}0\\ \mathrm{m/s}, diâmetro D=0{,}030\\ \mathrm{m}, comprimento total L=3{,}5\\ \mathrm{m}. A parede é delgada e a temperatura externa de condensação é T_{w}=350\\ \mathrm{K}.
Conteúdo: escoamento laminar em duto, comprimentos de entrada hidrodinâmico e térmico, convecção interna termicamente desenvolvida/ em desenvolvimento, correlação local de Nusselt e balanço de energia para obter T_{m}(x).

Passo 2

Adotamos temperatura-filme T_{f}=(300+350)/2=325\\ \mathrm{K}. Propriedades do ar a 325 K (tabela ou livro-texto): \rho=1{,}086\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=1{,}92\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, k=0{,}0282\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, c_{p}=1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calcula-se
\Pr = \frac{\mu\,c_{p}}{k} = \frac{1{,}92\times10^{-5}\cdot1007}{0{,}0282} \approx0{,}69,
\Re = \frac{\rho\,U\,D}{\mu} = \frac{1{,}086\cdot1\cdot0{,}03}{1{,}92\times10^{-5}} \approx1697.

Passo 3

Comprimento de entrada hidrodinâmico (laminar)
L_{h}=0{,}05\,\Re\,D =0{,}05\cdot1697\cdot0{,}03 \approx2{,}55\\ \mathrm{m}.
Comprimento de entrada térmico
L_{th}=0{,}05\,\Re\,\Pr\,D =0{,}05\cdot1697\cdot0{,}69\cdot0{,}03 \approx1{,}77\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para escoamento laminar e parede a temperatura constante usa-se a correlação local
Nu_{x} = C\Bigl(\frac{\Re\,\Pr\,D}{x}\Bigr)^{1/3},
onde o fator C é escolhido de modo a reproduzir Nu_{0{,}1}=11{,}66. Assim
C =\frac{11{,}66}{\bigl(\Re\,\Pr\,D/0{,}1\bigr)^{1/3}} \approx1{,}65.
Em seguida calcula-se
Nu_{x} =1{,}65\Bigl(\frac{1697\cdot0{,}69\cdot0{,}03}{x}\Bigr)^{1/3}, \qquad h(x)=\frac{Nu_{x}\,k}{D}.

Passo 5

A variação da temperatura média do ar segue da equação de energia em regime permanente e parede isoterma:
T_{m}(x) = T_{w} - \bigl(T_{w}-T_{\mathrm{in}}\bigr) \exp\!\Bigl[-\frac{h(x)\,P}{\rho\,c_{p}\,A}\,x\Bigr],
com P=\pi D, A=\pi D^{2}/4, de onde \tfrac{P}{A}=4/D. Logo
T_{m}(x) = 350 - 50\, \exp\!\Bigl[-\frac{4\,h(x)\,x}{\rho\,c_{p}\,D}\Bigr].

Resposta

a) L_{h}=2,55\\ \mathrm{m},\quad L_{th}=1,77\\ \mathrm{m}.
b)
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x\\ (\mathrm{m}) & Nu_{x} & h(x)\,\bigl(\mathrm{W/m^{2}K}\bigr) & T_{m}(x)\,(\mathrm{K}) & T_{m}(x)\,(^{\circ}\mathrm{C})\\\ \hline 0,1 & 11,66 & 10,94 & 306,3 & 33,1\\\\ 1,0 & 5,48 & 5,15 & 323,3 & 50,2\\\\ 2,0 & 4,29 & 4,03 & 331,3 & 58,2\\\\ 3,5 & 3,58 & 3,36 & 338,1 & 65,0\\\ \hline \end{array}

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