Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg cada, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(4 t, t^2, 0), r2=(2 t, t^4, 0).
c) Qual a soma das forças sobre cada partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições delas variam com o tempo e são dadas pelos vetores r1 = (4t, t^2, 0) e r2 = (2t, t^4, 0). O que precisamos descobrir é qual é a soma das forças atuando em cada partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: F = m cdot a.

Passo 3

Para encontrar a força em cada partícula, precisamos calcular a aceleração delas. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar as posições duas vezes.

Passo 4

Vamos começar com a partícula 1, cuja posição é r1 = (4t, t^2, 0).
Primeira derivada (velocidade):
v1 = dr1dt = (4, 2t, 0)
Segunda derivada (aceleração):
a1 = dv1dt = (0, 2, 0)

Passo 5

Agora, vamos para a partícula 2, cuja posição é r2 = (2t, t^4, 0).
Primeira derivada (velocidade):
v2 = dr2dt = (2, 4t^3, 0)
Segunda derivada (aceleração):
a2 = dv2dt = (0, 12t^2, 0)

Passo 6

Agora que temos as acelerações, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar as forças em cada partícula.
Para a partícula 1:
F1 = m cdot a1 = 2 cdot (0, 2, 0) = (0, 4, 0) , N
Para a partícula 2:
F2 = m cdot a2 = 2 cdot (0, 12t^2, 0) = (0, 24t^2, 0) , N

Resposta

A soma das forças sobre cada partícula é:
F1 = (0,, 4,, 0) , N
F2 = (0,, 24t^2,, 0) , N

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