Use o método dos mínimos quadrados para encontrar a reta
que melhor se encaixa a três pontos
e
. Faça um gráfico desta reta, apresentando também os três pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a reta que melhor se encaixa nos pontos (1,6), (3,5) e (5,1) usando o método dos mínimos quadrados. A gente vai precisar entender um pouquinho de álgebra linear e como minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os previstos pela reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta que queremos é da forma $ y = A + Bx $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ (intercepto) e $ B $ (inclinação) que fazem essa reta ficar o mais “perto possível” dos três pontos dados. “Perto” aqui significa minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de $ y $ dos pontos e os valores de $ y $ calculados pela reta.
Passo 3
Vamos montar algumas equações baseadas nos pontos que temos. Para cada ponto $ (x_i, y_i) $, a diferença entre $ y_i $ e $ A + Bx_i $ é o erro que queremos minimizar. Então, a soma dos quadrados desses erros fica:
Nosso objetivo é encontrar $ A $ e $ B $ que minimizam $ S $.
Passo 4
Para minimizar $ S $, derivamos $ S $ em relação a $ A $ e $ B $ e igualamos a zero, obtendo duas equações:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos calcular as somas necessárias com os pontos dados:
Substituindo essas somas no sistema de equações:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 3:
Isolando $ A $:
Substituindo $ A $ na segunda equação:
Agora, substituindo $ B $ de volta na equação de $ A $:
Resposta
A reta que melhor se encaixa nos pontos dados é: