Use o método dos mínimos quadrados para encontrar a reta y=A+B x que melhor se encaixa a três pontos (1,6),(3,5) e (5,1). Faça um gráfico desta reta, apresentando também os três pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a reta que melhor se encaixa nos pontos (1,6), (3,5) e (5,1) usando o método dos mínimos quadrados. A gente vai precisar entender um pouquinho de álgebra linear e como minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os previstos pela reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta que queremos é da forma $ y = A + Bx $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ (intercepto) e $ B $ (inclinação) que fazem essa reta ficar o mais “perto possível” dos três pontos dados. “Perto” aqui significa minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de $ y $ dos pontos e os valores de $ y $ calculados pela reta.

Passo 3

Vamos montar algumas equações baseadas nos pontos que temos. Para cada ponto $ (x_i, y_i) $, a diferença entre $ y_i $ e $ A + Bx_i $ é o erro que queremos minimizar. Então, a soma dos quadrados desses erros fica:
(xi, yi)
Nosso objetivo é encontrar $ A $ e $ B $ que minimizam $ S $.

Passo 4

Para minimizar $ S $, derivamos $ S $ em relação a $ A $ e $ B $ e igualamos a zero, obtendo duas equações:
S
S
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
A

Passo 5

Vamos calcular as somas necessárias com os pontos dados:
sum xi = 1 + 3 + 5 = 9
sum yi = 6 + 5 + 1 = 12
sum xi^2 = 1^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35
sum xi yi = (1)(6) + (3)(5) + (5)(1) = 6 + 15 + 5 = 26
Substituindo essas somas no sistema de equações:
3A + 9B = 12 9A + 35B = 26

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 3:
A + 3B = 4
Isolando $ A $:
A
Substituindo $ A $ na segunda equação:
A = 4 - 3B
A
9(4 - 3B) + 35B = 26
36 - 27B + 35B = 26
36 + 8B = 26
8B = 26 - 36
Agora, substituindo $ B $ de volta na equação de $ A $:
8B = -10

Resposta

A reta que melhor se encaixa nos pontos dados é:
y = 7,75 - 1,25x

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