Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(0, t^2, t^2), r2=(t, t^3, 0).
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o vetor velocidade e o vetor aceleração de duas partículas. Isso está relacionado à cinemática, que estuda o movimento das partículas. Para resolver, vamos precisar usar derivadas, já que velocidade é a derivada da posição e aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição de uma partícula em função do tempo é dada por um vetor r(t). Para encontrar a velocidade v(t), a fórmula é:
v(t) = dr(t)dt
Isso significa que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração a(t), derivamos a velocidade:
a(t) = dv(t)dt = d^2r(t)dt^2
Então, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos começar com a primeira partícula, cuja posição é:
r1(t) = (0, t^2, t^2)
Para encontrar a velocidade v1(t), derivamos cada componente em relação ao tempo:
v1(t) = (ddt(0), ddt(t^2), ddt(t^2)) = (0, 2t, 2t)

Passo 5

Ainda com a primeira partícula, para achar a aceleração a1(t), derivamos a velocidade:
a1(t) = (ddt(0), ddt(2t), ddt(2t)) = (0, 2, 2)

Passo 6

Agora, vamos para a segunda partícula, cuja posição é:
r2(t) = (t, t^3, 0)
Encontramos a velocidade v2(t) derivando cada componente:
v2(t) = (ddt(t), ddt(t^3), ddt(0)) = (1, 3t^2, 0)

Passo 7

Por fim, para a aceleração a2(t) da segunda partícula, derivamos a velocidade:
a2(t) = (ddt(1), ddt(3t^2), ddt(0)) = (0, 6t, 0)

Resposta

O vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula são:
  • Partícula 1:
    v1(t) = (0, 2t, 2t)
    a1(t) = (0, 2, 2)
  • Partícula 2:
    v2(t) = (1, 3t^2, 0)
    a2(t) = (0, 6t, 0)

Exercícios relacionados