Para determinar a constante elástica de uma mola, um estudante utiliza de várias massas M e mede o comprimento correspondente 1. Os resultados estão na tabela abaixo. Encontre o comprimento natural da mola.
Massa (g) 200 300 400 500 600 700 800 900
Comprimento (cm) 5,1 5,5 5,9 6,8 7,4 7,5 8,6 9,3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola e várias massas penduradas nela, com os comprimentos medidos. Nosso objetivo é encontrar o comprimento natural da mola, ou seja, o comprimento dela quando nenhuma massa está pendurada. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à elasticidade das molas e à relação entre força e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando adicionamos uma massa à mola, a força exercida pela massa (que é peso) estica a mola. A relação entre a força (F) e o alongamento da mola (Δx) é dada pela Lei de Hooke:
F = k cdot De
Aqui, é a constante elástica da mola que queremos determinar.

Passo 3

A força F = m cdot g exercida por cada massa pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a massa e é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

Vamos organizar os dados fornecidos:
|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Massa (g) & 200 & 300 & 400 & 500 & 600 & 700 & 800 & 900 hline Comprimento (cm) & 5,1 & 5,5 & 5,9 & 6,8 & 7,4 & 7,5 & 8,6 & 9,3 hline

Passo 5

Vamos converter as massas de gramas para quilogramas, já que a unidade padrão de massa no SI é o quilograma:
m (kg) = m (g)1000
Por exemplo, 200 g = 0,2 kg.

Passo 6

Agora, calculamos a força para cada massa:
F = m cdot g
Fazendo isso para todas as massas:
|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Massa (kg) & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 hline Força (N) & 1,96 & 2,94 & 3,92 & 4,905 & 5,886 & 6,867 & 7,848 & 8,829 hline ç

Passo 7

Agora, vamos considerar que o comprimento medido da mola inclui o alongamento causado pela força. O comprimento natural da mola ( Comprimento = L0 + De) é o comprimento sem nenhum peso. Podemos modelar isso como:
onde é o alongamento causado pela força.

Passo 8

Usando a Lei de Hooke, podemos relacionar:
F = k cdot De
Substituindo na equação do comprimento:
Comprimento = L0 + Fk

Passo 9

Reorganizando a equação:
Comprimento = L0 + Fk
Isso é uma equação linear na forma:
y = L0 + (1k) x
onde é o comprimento, é a força, é o comprimento natural e é o coeficiente angular.

Passo 10

Para encontrar , precisamos determinar a equação da linha de melhor ajuste (regressão linear) dos dados de força vs. comprimento e identificar o intercepto .

Passo 11

Calculamos a média das forças ( F = 1,96 + 2,94 + 3,92 + 4,905 + 5,886 + 6,867 + 7,848 + 8,8298 = 5,851 , N ) e a média dos comprimentos ( C = 5,1 + 5,5 + 5,9 + 6,8 + 7,4 + 7,5 + 8,6 + 9,38 = 6,8125 , cm ):

Passo 12

Calculamos a covariância entre força e comprimento e a variância da força:
Cov(F,C) = sum (Fi - F)(Ci - C)n
Var(F) = sum (Fi - F)^2n
Após os cálculos, obtemos:
Cov(F,C) = 2,474 , cmN
Var(F) = 9,442 , N^2

Passo 13

Calculamos o coeficiente angular m = Cov(F,C)Var(F) = 2,4749,442 = 0,262 , cm/N e o coeficiente linear b = C - m cdot F = 6,8125 - 0,262 cdot 5,851 = 6,8125 - 1,534 approx 5,2785 , cm :

Passo 14

Portanto, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados é:
Comprimento = 5,2785 , cm + 0,262 cdot F

Resposta

O comprimento natural da mola é aproximadamente 5,28 cm.

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