Para determinar a constante elástica de uma mola, um estudante utiliza de várias massas M e mede o comprimento correspondente 1. Os resultados estão na tabela abaixo. Encontre o comprimento natural da mola.
Massa (g)
200
300
400
500
600
700
800
900
Comprimento (cm)
5,1
5,5
5,9
6,8
7,4
7,5
8,6
9,3
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mola e várias massas penduradas nela, com os comprimentos medidos. Nosso objetivo é encontrar o comprimento natural da mola, ou seja, o comprimento dela quando nenhuma massa está pendurada. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à elasticidade das molas e à relação entre força e deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando adicionamos uma massa à mola, a força exercida pela massa (que é peso) estica a mola. A relação entre a força (F) e o alongamento da mola (Δx) é dada pela Lei de Hooke:
Aqui, é a constante elástica da mola que queremos determinar.
Passo 3
A força exercida por cada massa pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a massa e é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 4
Vamos organizar os dados fornecidos:
Passo 5
Vamos converter as massas de gramas para quilogramas, já que a unidade padrão de massa no SI é o quilograma:
Por exemplo, 200 g = 0,2 kg.
Passo 6
Agora, calculamos a força para cada massa:
Fazendo isso para todas as massas:
Passo 7
Agora, vamos considerar que o comprimento medido da mola inclui o alongamento causado pela força. O comprimento natural da mola () é o comprimento sem nenhum peso. Podemos modelar isso como:
onde é o alongamento causado pela força.
Passo 8
Usando a Lei de Hooke, podemos relacionar:
Substituindo na equação do comprimento:
Passo 9
Reorganizando a equação:
Isso é uma equação linear na forma:
onde é o comprimento, é a força, é o comprimento natural e é o coeficiente angular.
Passo 10
Para encontrar , precisamos determinar a equação da linha de melhor ajuste (regressão linear) dos dados de força vs. comprimento e identificar o intercepto .
Passo 11
Calculamos a média das forças () e a média dos comprimentos ( C = 5,1 + 5,5 + 5,9 + 6,8 + 7,4 + 7,5 + 8,6 + 9,38 = 6,8125 , cm ):
Passo 12
Calculamos a covariância entre força e comprimento e a variância da força:
Cov(F,C) = sum (Fi - F)(Ci - C)n
Var(F) = sum (Fi - F)^2n
Após os cálculos, obtemos:
Cov(F,C) = 2,474 , cmN
Var(F) = 9,442 , N^2
Passo 13
Calculamos o coeficiente angular m = Cov(F,C)Var(F) = 2,4749,442 = 0,262 , cm/N e o coeficiente linear b = C - m cdot F = 6,8125 - 0,262 cdot 5,851 = 6,8125 - 1,534 approx 5,2785 , cm :
Passo 14
Portanto, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados é:
Comprimento = 5,2785 , cm + 0,262 cdot F
Resposta
O comprimento natural da mola é aproximadamente 5,28 cm.