Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(0, t^2, t^2), r2=(t, t^3, 0).
m) Qual a soma das forças sobre cada partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de física envolvendo duas partículas com massa de 2 kg cada. As posições delas em função do tempo são dadas por vetores. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a soma das forças que atuam em cada partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a posição das partículas. Para cada partícula, a posição está descrita por um vetor que depende do tempo $ t $.
Para a primeira partícula, a posição é:
t
Para a segunda partícula, a posição é:
r1(t) = (0, t^2, t^2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a aceleração de cada partícula, porque segundo a segunda lei de Newton ($ \boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a} $), a força é igual à massa vezes a aceleração.
Primeiro, vamos derivar a posição em relação ao tempo para encontrar a velocidade de cada partícula.
Para a primeira partícula:
F = m a
Para a segunda partícula:
v1(t) = dr1dt = (0, 2t, 2t)

Passo 4

Em seguida, derivamos a velocidade para encontrar a aceleração de cada partícula.
Para a primeira partícula:
a1(t) = dv1dt = (0, 2, 2)
Para a segunda partícula:
a2(t) = dv2dt = (0, 6t, 0)

Passo 5

Agora que temos as acelerações, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar as forças em cada partícula. Lembre-se que $ \boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a} $, e a massa $ m $ de cada partícula é 2 kg.
Para a primeira partícula:
F = m a
Para a segunda partícula:
m

Resposta

A soma das forças sobre a primeira partícula é $ \boldsymbol{F}{1} = \left(0, 4, 4\right) , N $ e sobre a segunda partícula é $ \boldsymbol{F}{2} = \left(0, 12t, 0\right) , N $.

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