Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dados pelos vetores
. Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições delas em função do tempo são dadas pelos vetores:
Nosso objetivo é calcular duas coisas:
- Quantidade de movimento do sistema.
- Soma das forças externas que atuam sobre o sistema.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como velocidade, quantidade de movimento (que é massa vezes velocidade) e a relação entre força e variação da quantidade de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as velocidades das partículas. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos
, a velocidade
é:
Vamos calcular isso para cada partícula.
Passo 3
Calculando a velocidade da primeira partícula (
):
Derivando cada componente em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, calculando a velocidade da segunda partícula (
):
Derivando cada componente em relação a $ t $:
Passo 5
Agora que temos as velocidades, vamos calcular a quantidade de movimento (
) de cada partícula. A quantidade de movimento é dada por:
Como as duas partículas têm massa $ m = 2 , kg $, vamos multiplicar cada velocidade pela massa.
Passo 6
Calculando a quantidade de movimento da primeira partícula (
):
Passo 7
Calculando a quantidade de movimento da segunda partícula (
):
Passo 8
Agora, vamos somar as quantidades de movimento das duas partículas para obter a quantidade de movimento total do sistema (
):
Passo 9
Para encontrar a soma das forças externas que atuam sobre o sistema, usamos a segunda lei de Newton para sistemas:
Ou seja, a força externa é a derivada da quantidade de movimento total em relação ao tempo.
Passo 10
Calculando a derivada de
:
Derivando cada componente:
Portanto,
Resposta
A quantidade de movimento total do sistema é
kg·m/s e a soma das forças externas sobre o sistema é
N.