Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dados pelos vetores r1=(0, t^2, t^2), r2=(t, t^3, 0). Calcule a quantidade de movimento e a soma das forças externas sobre o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições delas em função do tempo são dadas pelos vetores:
r1 = (0, t^2, t^2)
r2 = (t, t^3, 0)
Nosso objetivo é calcular duas coisas:
  1. Quantidade de movimento do sistema.
  2. Soma das forças externas que atuam sobre o sistema.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como velocidade, quantidade de movimento (que é massa vezes velocidade) e a relação entre força e variação da quantidade de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as velocidades das partículas. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos r(t), a velocidade v(t) é:
v(t) = dr(t)dt
Vamos calcular isso para cada partícula.

Passo 3

Calculando a velocidade da primeira partícula ( v1):
r1 = (0, t^2, t^2)
Derivando cada componente em relação a $ t $:
t

Passo 4

Agora, calculando a velocidade da segunda partícula ( v2):
r2 = (t, t^3, 0)
Derivando cada componente em relação a $ t $:
t

Passo 5

Agora que temos as velocidades, vamos calcular a quantidade de movimento ( p) de cada partícula. A quantidade de movimento é dada por:
p = m cdot v
Como as duas partículas têm massa $ m = 2 , kg $, vamos multiplicar cada velocidade pela massa.

Passo 6

Calculando a quantidade de movimento da primeira partícula ( p1):
p1 = 2 cdot (0, 2t, 2t) = (0, 4t, 4t) , kg·m/s

Passo 7

Calculando a quantidade de movimento da segunda partícula ( p2):
p2 = 2 cdot (1, 3t^2, 0) = (2, 6t^2, 0) , kg·m/s

Passo 8

Agora, vamos somar as quantidades de movimento das duas partículas para obter a quantidade de movimento total do sistema ( P):
P = p1 + p2 = (0 + 2, 4t + 6t^2, 4t + 0) = (2, 4t + 6t^2, 4t) , kg·m/s

Passo 9

Para encontrar a soma das forças externas que atuam sobre o sistema, usamos a segunda lei de Newton para sistemas:
Fext = dPdt
Ou seja, a força externa é a derivada da quantidade de movimento total em relação ao tempo.

Passo 10

Calculando a derivada de P:
P = (2, 4t + 6t^2, 4t)
Derivando cada componente:
dPdt = ( ddt(2), ddt(4t + 6t^2), ddt(4t) ) = (0, 4 + 12t, 4)
Portanto,
Fext = (0, 4 + 12t, 4) , N

Resposta

A quantidade de movimento total do sistema é P = (2, 4t + 6t^2, 4t) kg·m/s e a soma das forças externas sobre o sistema é Fext = (0, 4 + 12t, 4) N.

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