Considere um sistema composto por duas partículas de massa unitária, cujos respectivos vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
l r1=2 x+y+3 z ; v1=-2 x+4 y+z r2=-3 x+2 y-2 z ; v2=x+4 y+2 z
Calcule:
(a) O momentum angular do sitema no referencial do laboratório.
(b) A energia cinética do sistema em relação ao centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá dois corpos de massa unitária cujas posições e velocidades num instante t são
vec r1=(2,1,3), vec v1=(-2,4,1) e
vec r2=(-3,2,-2), vec v2=(1,4,2).
Pede-se
(a) o momento angular total vec L=sum vec ritimes mivec vi no laboratório;
(b) a energia cinética do sistema no referencial do centro de massa.

Passo 2

Usamos vec Li=vec ritimes mivec vi com mi=1. Calculamos primeiro
vec L1= hat x & hat y & hat z 2 & 1 & 3 -2 & 4 & 1 =(1cdot1-3cdot4),hat x-(2cdot1-3cdot(-2)),hat y+(2cdot4-1cdot(-2)),hat z =(-11,-8,10)
e
vec L2= hat x & hat y & hat z -3 & 2 & -2 1 & 4 & 2 =(2cdot2-(-2)cdot4),hat x-(-3cdot2-(-2)cdot1),hat y+(-3cdot4-2cdot1),hat z =(12,4,-14)

Passo 3

Somamos os dois momentos angulares
vec L=vec L1+vec L2=(-11+12,,-8+4,;10-14)=(1,-4,-4)

Passo 4

Para a energia cinética no CM, achamos primeiro a velocidade do centro de massa
vec vCM=vec v1+vec v2m1+m2=(-2,4,1)+(1,4,2)2=(-0,5,4,1,5)

Passo 5

Calculamos as velocidades relativas
vec v'1=vec v1-vec vCM=(-2+0,5,,4-4,,1-1,5)=(-1,5,0,-0,5)
e
vec v'2=vec v2-vec vCM=(1+0,5,,4-4,,2-1,5)=(1,5,0,0,5).

Passo 6

A energia cinética relativa ao CM é
T=12sumi=1^2mi|vec v'i|^2 =12l[(1,5^2+0^2+0,5^2)+(1,5^2+0^2+0,5^2)r] =12(2,5cdot2)=2,5

Resposta

(a) vec L=(1,-4,-4).
(b) TCM=2,5.

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