Considere um sistema composto de N partículas quânticas de dois níveis que podem ter energia \epsilon ou -\epsilon, calcule
6-
A) o potencial químico em termos da temperatura (\mu(T));
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico (\varphi(T, \mu)=\Phi(T, \mu) / N).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pedido A: encontrar o potencial químico em função da temperatura, isto é \mu(T).
  • Pedido B: encontrar o grande potencial termodinâmico por partícula \varphi(T,\mu)=\Phi(T,\mu)/N em função de T e \mu.
Informações dadas:
  • O sistema tem N partículas quânticas independentes (cada partícula é um sistema de dois níveis).
  • Cada partícula pode ocupar um dos dois estados de energia: \epsilon ou -\epsilon.
  • Não há interação entre partículas; portanto o particionamento estatístico do sistema é construído a partir do particionamento de uma partícula.
  • Vou assumir o tratamento clássico-quantitativo usual para sistemas independentes: calcular a função partição de uma partícula e então usar-a para obter energia livre, potencial químico e grande potencial. Não é preciso assumir ocupação tipo fermi/bose para cada nível interno da partícula, porque estamos tratando cada partícula inteira como um “sistema de dois níveis” independente (modelo de spins/átomos de dois níveis).

Passo 2

Partição de uma partícula e significado de \beta.
  • Definimos \beta=\dfrac{1}{kT}, onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura.
  • A função partição de uma partícula (soma das contribuições de cada nível) é:
Z_1=\sum_{s}e^{-\beta E_s}=e^{-\beta\epsilon}+e^{\beta\epsilon}.
  • Simplificando usando a definição do cosseno hiperbólico:
Z_1=e^{-\beta\epsilon}+e^{\beta\epsilon}=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon).
Explicação didática curta: a função partição de uma partícula conta quanto “peso” estatístico cada nível tem em e^{-\beta E}; como há dois níveis simétricos em \pm\epsilon, temos essa soma que reduz a 2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon).

Passo 3

Energia livre de Helmholtz por partícula e definição termodinâmica do potencial químico.
  • Para N partículas independentes (e assumindo que a função partição total é Z_N=(Z_1)^N), a energia livre (função de Helmholtz) total é
F=-kT\ln Z_N=-kT\ln\bigl(Z_1^N\bigr)=-NkT\ln Z_1.
  • Definição termodinâmica do potencial químico: para sistemas em que N é variável, o potencial químico é a derivada do F em relação a N a T constante:
\mu=\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_T.
  • Como Z_1 não depende de N, a derivada é direta:
\mu=-kT\ln Z_1.
  • Substituindo Z_1=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon) e \beta=1/(kT) obtemos o resultado explícito:
\mu(T)=-kT\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr)=-kT\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{\epsilon}{kT}\bigr)\bigr).
Comentário intuitivo: para este tipo de sistema independente, cada partícula contribui com a mesma energia livre por partícula f=-kT\ln Z_1, e o potencial químico definido como \partial F/\partial N iguala-se a esse valor por partícula.

Passo 4

Definir o grande potencial termodinâmico e escrever por partícula.
  • O grande potencial termodinâmico (função de Landau) é normalmente
\Phi = F - \mu N.
  • Dividindo por N para obter por partícula:
\varphi(T,\mu)=\frac{\Phi}{N}=\frac{F}{N}-\mu.
  • Substituindo F/N=-kT\ln Z_1 obtemos a expressão geral (em termos de T e \mu):
\varphi(T,\mu)=-kT\ln Z_1-\mu.
  • Reescrevendo com Z_1=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon):
\varphi(T,\mu)=-kT\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}(\tfrac{\epsilon}{kT})\bigr)-\mu.
Observação importante: se escolhemos \mu exatamente como a derivada \mu(T)=-kT\ln Z_1 (caso A), então
\varphi(T,\mu(T))=-kT\ln Z_1-\mu(T)=0.
Isto é consistente: ao fixar N e calcular \mu como \partial F/\partial N, a combinação F-\mu N desaparece. Mas a expressão genérica de \varphi(T,\mu) em termos de T e \mu é a que dei acima.

Passo 5

Comentários finais e limites (intuitivos) — para motivar confiança.
  • Limite T\to0 ( \beta\to\infty): \operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\approx\tfrac{1}{2}e^{\beta\epsilon} para \epsilon>0, então
\mu(T)\xrightarrow[T\to0]{}-kT\ln\bigl(e^{\beta\epsilon}\bigr)=-\epsilon.
Isto diz que, a baixíssimas temperaturas, o potencial químico tende ao menor valor de energia por partícula disponível (aqui -\epsilon).
  • Limite T\to\infty: \mu(T)\approx -kT\ln 2 (dominância do fator degenerescência 2), ou seja, o comportamento é dominado pela entropia de dois níveis.

Resposta

\displaystyle \mu(T)=-kT\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{\epsilon}{kT}\bigr)\bigr)
\displaystyle \varphi(T,\mu)=-kT\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{\epsilon}{kT}\bigr)\bigr)-\mu

Exercícios relacionados