Considere um sistema composto de N partículas quânticas de dois níveis que podem ter energia \epsilon ou -\epsilon, calcule
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A) o potencial químico em termos da temperatura (\mu(T));
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico (\varphi(T, \mu)=\Phi(T, \mu) / N).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
Pedido A: encontrar o potencial químico em função da temperatura, isto é \mu(T).
Pedido B: encontrar o grande potencial termodinâmico por partícula \varphi(T,\mu)=\Phi(T,\mu)/N em função de T e \mu.
Informações dadas:
O sistema tem N partículas quânticas independentes (cada partícula é um sistema de dois níveis).
Cada partícula pode ocupar um dos dois estados de energia: \epsilon ou -\epsilon.
Não há interação entre partículas; portanto o particionamento estatístico do sistema é construído a partir do particionamento de uma partícula.
Vou assumir o tratamento clássico-quantitativo usual para sistemas independentes: calcular a função partição de uma partícula e então usar-a para obter energia livre, potencial químico e grande potencial. Não é preciso assumir ocupação tipo fermi/bose para cada nível interno da partícula, porque estamos tratando cada partícula inteira como um “sistema de dois níveis” independente (modelo de spins/átomos de dois níveis).
Passo 2
Partição de uma partícula e significado de \beta.
Definimos \beta=\dfrac{1}{kT}, onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura.
A função partição de uma partícula (soma das contribuições de cada nível) é:
Explicação didática curta: a função partição de uma partícula conta quanto “peso” estatístico cada nível tem em e^{-\beta E}; como há dois níveis simétricos em \pm\epsilon, temos essa soma que reduz a 2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon).
Passo 3
Energia livre de Helmholtz por partícula e definição termodinâmica do potencial químico.
Para N partículas independentes (e assumindo que a função partição total é Z_N=(Z_1)^N), a energia livre (função de Helmholtz) total é
F=-kT\ln Z_N=-kT\ln\bigl(Z_1^N\bigr)=-NkT\ln Z_1.
Definição termodinâmica do potencial químico: para sistemas em que N é variável, o potencial químico é a derivada do F em relação a N a T constante:
\mu=\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_T.
Como Z_1 não depende de N, a derivada é direta:
\mu=-kT\ln Z_1.
Substituindo Z_1=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon) e \beta=1/(kT) obtemos o resultado explícito:
Comentário intuitivo: para este tipo de sistema independente, cada partícula contribui com a mesma energia livre por partícula f=-kT\ln Z_1, e o potencial químico definido como \partial F/\partial N iguala-se a esse valor por partícula.
Passo 4
Definir o grande potencial termodinâmico e escrever por partícula.
O grande potencial termodinâmico (função de Landau) é normalmente
\Phi = F - \mu N.
Dividindo por N para obter por partícula:
\varphi(T,\mu)=\frac{\Phi}{N}=\frac{F}{N}-\mu.
Substituindo F/N=-kT\ln Z_1 obtemos a expressão geral (em termos de T e \mu):
\varphi(T,\mu)=-kT\ln Z_1-\mu.
Reescrevendo com Z_1=2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon):
Observação importante: se escolhemos \mu exatamente como a derivada \mu(T)=-kT\ln Z_1 (caso A), então
\varphi(T,\mu(T))=-kT\ln Z_1-\mu(T)=0.
Isto é consistente: ao fixar N e calcular \mu como \partial F/\partial N, a combinação F-\mu N desaparece. Mas a expressão genérica de \varphi(T,\mu) em termos de T e \mu é a que dei acima.
Passo 5
Comentários finais e limites (intuitivos) — para motivar confiança.
Limite T\to0 (\beta\to\infty): \operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\approx\tfrac{1}{2}e^{\beta\epsilon} para \epsilon>0, então