Considere um sistema composto por três partículas de massa unitária, cujos respectivos vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
r1=2 x+y-z ; v1=x-y+z
r2=x-2 y+z ; v2=-x-y+z
r3=-2 x+2 y-z ; v3=x+y-z
Calcule:
O momentum angular do sitema em relação à origem.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos três partículas de massa unitária com posições e velocidades dadas. A gente precisa achar o momento angular total do sistema em relação à origem.
Conteúdo: momento angular em mecânica, que é , e como aqui , . Também vamos usar produto vetorial (cross product) em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro calculamos o momento angular da partícula 1:
Teoria rápida do produto vetorial: para vec atimesvec b = hat x & hat y & hat z ax & ay & az bx & by & bz =l(ay bz - az byr)hat x - l(ax bz - az bxr)hat y + l(ax by - ay bxr)hat z e vec L1=vec r1timesvec v1 = hat x & hat y & hat z 2 & 1 & -1 1 & -1 & 1 =(1cdot1-(-1)cdot(-1))hat x -l(2cdot1-(-1)cdot1r)hat y +(2cdot(-1)-1cdot1)hat z =(0)hat x-3hat y-3hat z ,
Para a partícula 1 temos e , então
Ou seja, .

Passo 3

Agora a partícula 2, com vec L2 = hat x & hat y & hat z 1 & -2 & 1 -1 & -1 & 1 =(,-2cdot1-1cdot(-1))hat x -l(1cdot1-1cdot(-1)r)hat y +(1cdot(-1)-(-2)cdot(-1))hat z =(-1)hat x-2hat y-3hat z, e :
ou .

Passo 4

E a partícula 3, com vec L3 = hat x & hat y & hat z -2 & 2 & -1 1 & 1 & -1 =(2cdot(-1)-(-1)cdot1)hat x -l((-2)cdot(-1)-(-1)cdot1r)hat y +((-2)cdot1-2cdot1)hat z =(-1)hat x-3hat y-4hat z, e :
ou .

Passo 5

Basta somar as contribuições:
vec L=vec L1+vec L2+vec L3 =(0,-3,-3)+(-1,-2,-3)+(-1,-3,-4) =(-2,,-8,,-10)

Resposta

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