Considere um sistema composto por três partículas de massa unitária, cujos respectivos vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
l r1=2 x+y-z ; v1=x-y+z r2=x-2 y+z ; v2=-x-y+z r3=-2 x+2 y-z ; v3=x+y-z
Calcule:
O momentum angular do sitema em relação à origem.

Passo 1

O enunciado nos dá três partículas de massa unitária cujos vetores posição vec ri e velocidade vec vi em um instante t são:
vec r1 &= 2hat x + 1hat y -1hat z, & vec v1 &= 1hat x -1hat y +1hat z, vec r2 &= 1hat x -2hat y +1hat z, & vec v2 &= -1hat x -1hat y +1hat z, vec r3 &= -2hat x +2hat y -1hat z, & vec v3 &= 1hat x +1hat y -1hat z
O conteúdo aqui é momento angular de um sistema de partículas, que se calcula por
vec L = sumi=1^3 mi ,vec ri times vec vi,
e como mi=1 para cada partícula, basta somar vec ritimesvec vi.

Passo 2

Recordando a fórmula do produto vetorial em componente, se vec r=(x,y,z) e vec v=(vx,vy,vz) então
vec rtimesvec v = (y,vz - z,vy),hat x ;-;(x,vz - z,vx),hat y;+;(x,vy - y,vx),hat z
Vamos aplicar isso a cada par (vec ri,vec vi).

Passo 3

Para i=1, escrevemos em componente
vec r1=(2,1,-1) e vec v1=(1,-1,1). Então
vec r1timesvec v1 = l(1cdot1 - (-1)cdot(-1)r)hat x -l(2cdot1 - (-1)cdot1r)hat y +l(2cdot(-1) - 1cdot1r)hat z = 0,hat x -3,hat y -3,hat z

Passo 4

Para i=2, temos vec r2=(1,-2,1) e vec v2=(-1,-1,1). Assim
vec r2timesvec v2 = l((-2)cdot1 - 1cdot(-1)r)hat x -l(1cdot1 - 1cdot(-1)r)hat y +l(1cdot(-1) - (-2)cdot(-1)r)hat z = -1,hat x -2,hat y -3,hat z

Passo 5

Para i=3, escrevemos vec r3=(-2,2,-1) e vec v3=(1,1,-1). Logo
vec r3timesvec v3 = l(2cdot(-1) - (-1)cdot1r)hat x -l((-2)cdot(-1) - (-1)cdot1r)hat y +l((-2)cdot1 - 2cdot1r)hat z = -1,hat x -3,hat y -4,hat z

Passo 6

Somando os três momentos angulares:
vec L = (0,-3,-3) + (-1,-2,-3) + (-1,-3,-4) = (-2,-8,-10)

Resposta

boxedvec L = -2,hat x ;-;8,hat y ;-;10,hat z

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