Considere que um sistema computacional trabalha com \mathbf{3} casas decimais e arredondamento.
a) Represente o número \pi \approx 3,141592 com esse sistema.
b) Calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa aproximação.
c) Explique como o número de casas decimais influencia o erro de arredondamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
  • Informação: o sistema computacional trabalha com \mathbf{3} casas decimais e usa arredondamento.
  • Informação: o número a aproximar é \pi \approx 3,141592 (fornecido no enunciado).
  • Pergunta (a): representar o número \pi nesse sistema (isto é, com 3 casas decimais e arredondamento).
  • Pergunta (b): calcular o erro absoluto e o erro relativo da aproximação pedida em (a).
  • Pergunta (c): explicar como o número de casas decimais influencia o erro de arredondamento.

Passo 2

Entender a regra de arredondamento que vamos usar (explicação didática e sem complicação):
  • Arredondar para d casas decimais significa conservar os d dígitos após a vírgula e decidir se o último dígito permanece ou é incrementado em 1, olhando para o dígito imediatamente depois.
  • Regra usual (e a que vamos usar aqui): “arredondamento para o mais próximo” com tie-break “5 sobe” (round half-up). Ou seja, se o dígito na posição d+1 for menor que 5, mantém-se; se for maior ou igual a 5, aumenta-se o dígito na posição d em 1 (com o transporte normal se necessário).
  • Exemplo rápido (para fixar): arredondar 2,3467 para 2 casas dá 2,35 porque o terceiro dígito é 6\ge5.

Passo 3

Aplicar o arredondamento ao número dado:
  • O número fornecido é \pi \approx 3,141592.
  • Queremos 3 casas decimais ( d=3). Olhamos os dígitos: após a vírgula temos 1 (1ª), 4 (2ª), 1 (3ª), 5 (4ª), 9 (5ª), 2 (6ª).
  • O dígito na posição d+1=4 é 5. Pela regra “5 sobe”, incrementamos a 3ª casa decimal (que era 1) para 2.
  • Portanto a representação com 3 casas decimais e arredondamento é \,3,142\,.

Passo 4

Definir e calcular o erro absoluto (explicando a fórmula):
  • Definição didática: o erro absoluto mede a diferença entre a aproximação e o valor verdadeiro; é sempre não negativo.
  • Fórmula:
E_{\text{abs}} = \bigl| \text{aproximação} - \text{valor verdadeiro} \bigr|.çã
  • Substituindo: aproximação =3,142 e valor verdadeiro =3,141592. Então
E_{\text{abs}} = \bigl|3,142 - 3,141592\bigr| = 0,000408.
  • Observação: essa é a diferença direta; para checar, escrevendo com mais casas: 3,14200-3,141592=0,000408.

Passo 5

Definir e calcular o erro relativo (explicando a fórmula e o porquê):
  • Definição didática: o erro relativo dá o erro absoluto comparado ao tamanho do valor verdadeiro; é útil para saber a “importância” do erro em relação ao valor.
  • Fórmula:
E_{\text{rel}} = \frac{E_{\text{abs}}}{\bigl|\text{valor verdadeiro}\bigr|}.
  • Substituindo E_{\text{abs}}=0,000408 e \text{valor verdadeiro}=3,141592:
E_{\text{rel}} = \frac{0,000408}{3,141592} \approx 0,000129924\ldots
  • Em notação científica é aproximadamente
E_{\text{rel}} \approx 1,29924\times 10^{-4},
ou em porcentagem aproximadamente 0,0129924\%.

Passo 6

Explicar como o número de casas decimais influencia o erro de arredondamento (com resultados quantitativos e exemplos):
  • Razão básica e intuitiva: quando se arredonda para d casas decimais, os números representáveis estão espaçados por 10^{-d}. Ao arredondar para o mais próximo, a maior distância possível entre o valor verdadeiro e a aproximação é metade desse espaçamento.
  • Fórmula do limite máximo do erro absoluto por arredondamento:
E_{\text{abs}} \le \tfrac{1}{2}\,10^{-d}.
  • Aplicando ao caso d=3:
E_{\text{abs}} \le \tfrac{1}{2}\times 10^{-3} = 0,0005.
Efeitos observados:
  • No exercício, E_{\text{abs}}=0,000408 e de fato 0,000408 \le 0,0005 — portanto está dentro do limite esperado.
  • Se aumentar d em uma unidade (uma casa decimal a mais), o limite máximo de erro absoluto cai por um fator 10. Por exemplo, para d=4 o máximo seria 0,00005; para d=2 seria 0,005.
  • Consequência para o erro relativo: com d fixo, o erro relativo tem o limite
E_{\text{rel}} \le \frac{\tfrac{1}{2}10^{-d}}{|\text{valor}|}.
Portanto, para números de mesma ordem de grandeza, cada casa decimal extra reduz aproximadamente por fator 10 o erro absoluto (e, aproximadamente, o erro relativo quando o valor não muda muito).
  • Atenção prática: se o valor verdadeiro é muito pequeno (próximo de zero), até um pequeno erro absoluto pode significar um erro relativo enorme; por isso em cálculos numéricos também se considera precisão relativa e absoluta conforme o contexto.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido:
  • Resumindo: arredondamos olhando ao dígito seguinte; o erro absoluto é a diferença direta e tem um limite simples \tfrac{1}{2}10^{-d}; cada casa decimal extra reduz o erro absoluto por um fator 10. Vai dar tudo certo na prova — pratique mais alguns arredondamentos e cálculos de erro para fixar.

Resposta

a) 3,142
b) E_{\text{abs}}=0,000408 e E_{\text{rel}}\approx 1,29924\times10^{-4} (≈ 0,0129924\%)
c) O erro absoluto máximo por arredondamento para d casas é \tfrac{1}{2}10^{-d}; assim, cada casa decimal adicional reduz o erro absoluto (aproximadamente) por um fator 10, e o erro relativo também diminui na mesma proporção para números da mesma ordem de grandeza.

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