Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por:
,
e
. Pede-se:
(a) qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?
(b) como será representado o número 847235 nesta máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?
(a) qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?
(b) como será representado o número 847235 nesta máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes números do enunciado).
- Base da representação:
. - Número de algarismos significativos:
. - Exponentes permitidos:
(mínimo) e (máximo).
O enunciado pede:
(a) qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina;
(b) como o inteiroserá representado nesta máquina usando arredondamento e usando truncamento.
Passo 2
O que significa “número representado” nesta máquina (explicação didática).
- Uma máquina de ponto-flutuante normalizada representa números na forma
onde:
- cada
é um dígito na base (ou seja ); - o primeiro dígito satisfaz
(essa é a normalização: o primeiro dígito não pode ser zero); - há exatamente
dígitos significativos no total ( ); - o expoente
satisfaz . - Em palavras simples: o número tem uma “mantissa” com
dígitos (começando por um dígito não-nulo) e um expoente limitado entre e .
Passo 3
Maior valor absoluto representável (passo a passo).
- O maior valor ocorre quando a mantissa é máxima (todos os
dígitos iguais a ) e o expoente é . - A mantissa máxima é
- Podemos escrever isso como soma geométrica:
- Simplificando a soma geométrica obtemos
- Substituindo
e :
- Multiplicando pelo maior expoente
temos o maior módulo:
Passo 4
Menor valor absoluto (não nulo) representável (passo a passo).
- O menor número em módulo (assumindo somente números normalizados, sem denormais) ocorre quando a mantissa é mínima normalizada
(com dígitos, isto é seguido de zeros) e o expoente é . - Assim o menor módulo é
- Substituindo
:
Passo 5
Resumo (antes de representar
): resultado das partes (a) obtidos até aqui.
- Menor módulo (não nulo):
. - Maior módulo:
(a forma científica útil é usando vírgula decimal).
Passo 6
Preparação para (b): normalizar
.
- Para escrever
na forma encontramos tal que a mantissa fique entre e . - Dividindo por
:
- A mantissa atual
tem dígitos significativos; a máquina permite apenas . Então devemos cortar/ajustar mantendo os primeiros dígitos significativos e tratar o dígito que sobra (o sexto, que é ) conforme truncamento ou arredondamento.
Passo 7
Truncamento (como fazer e resultado).
- Truncamento significa simplesmente eliminar os dígitos além dos
primeiros, sem alterar o último dígito mantido. - Mantissa com truncamento:
. - Representação máquina (truncamento):
- Valor numérico correspondente:
Passo 8
Arredondamento (como fazer e resultado).
- Arredondar para
dígitos significa olhar o dígito imediatamente após o -ésimo; se esse dígito for (regra “arredondar para cima”), soma-se ao último dígito mantido, cuidando de ‘vai um’ se necessário. - No nosso caso a mantissa com muitos dígitos é
. Os primeiros dígitos são e o sexto dígito é . - Pelo critério usual de arredondamento (metade para cima), o
faz subir o último dígito mantido para . Não há propagação de vai-um além disso. - Mantissa com arredondamento:
. - Representação máquina (arredondamento):
- Valor numérico correspondente:
Resposta
(a) menor número em módulo:
. maior número em módulo:
(b) arredondamento: (corresponde a
); truncamento:
(corresponde a
).
(b) arredondamento: