Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: \beta=10, t=5, l=-6 e u=6. Pede-se:
(a) qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?
(b) como será representado o número 847235 nesta máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes números do enunciado).
  • Base da representação: \beta=10.
  • Número de algarismos significativos: t=5.
  • Exponentes permitidos: l=-6 (mínimo) e u=6 (máximo).
    O enunciado pede:
    (a) qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina;
    (b) como o inteiro 847235 será representado nesta máquina usando arredondamento e usando truncamento.

Passo 2

O que significa “número representado” nesta máquina (explicação didática).
  • Uma máquina de ponto-flutuante normalizada representa números na forma
\pm (d_1.d_2d_3\ldots d_t)_{\beta}\times \beta^{e},
onde:
  • cada d_i é um dígito na base \beta (ou seja d_i\in\{0,1,\dots,\beta-1\});
  • o primeiro dígito satisfaz 1\le d_1\le \beta-1 (essa é a normalização: o primeiro dígito não pode ser zero);
  • há exatamente t dígitos significativos no total ( d_1,d_2,\dots,d_t);
  • o expoente e satisfaz l\le e\le u.
  • Em palavras simples: o número tem uma “mantissa” com t dígitos (começando por um dígito não-nulo) e um expoente limitado entre l e u.

Passo 3

Maior valor absoluto representável (passo a passo).
  • O maior valor ocorre quando a mantissa é máxima (todos os t dígitos iguais a \beta-1) e o expoente é u.
  • A mantissa máxima é
S_{\max}=(\beta-1).(\beta-1)(\beta-1)\ldots(\beta-1)\quad(\text{total }t\text{ dígitos}).í
  • Podemos escrever isso como soma geométrica:
S_{\max}=(\beta-1)\sum_{k=0}^{t-1}\beta^{-k}.
  • Simplificando a soma geométrica obtemos
S_{\max}=\beta\bigl(1-\beta^{-t}\bigr).
  • Substituindo \beta=10 e t=5:
S_{\max}=10\bigl(1-10^{-5}\bigr)=10\bigl(1-0,00001\bigr)=9,9999.
  • Multiplicando pelo maior expoente 10^{u}=10^{6} temos o maior módulo:
\text{máx} = 9,9999\times 10^{6}=9\,999\,900.á

Passo 4

Menor valor absoluto (não nulo) representável (passo a passo).
  • O menor número em módulo (assumindo somente números normalizados, sem denormais) ocorre quando a mantissa é mínima normalizada 1.0000\ldots (com t dígitos, isto é 1 seguido de t-1 zeros) e o expoente é l.
  • Assim o menor módulo é
\text{mín} = 1,0000\ldots\times \beta^{l}=1\times 10^{l}.í
  • Substituindo l=-6:
\text{mín}=10^{-6}.í

Passo 5

Resumo (antes de representar 847235): resultado das partes (a) obtidos até aqui.
  • Menor módulo (não nulo): \,10^{-6}\,.
  • Maior módulo: \,9{,}999{,}900=9{,}9999\times 10^{6}\, (a forma científica útil é \,9,9999\times 10^{6}\, usando vírgula decimal).

Passo 6

Preparação para (b): normalizar 847235.
  • Para escrever 847235 na forma (d_1.d_2\ldots d_t)\times 10^{e} encontramos e tal que a mantissa fique entre 1 e 9{,}9999.
  • Dividindo por 10^{5}:
847235 = 8,47235\times 10^{5}.
  • A mantissa atual 8,47235 tem 6 dígitos significativos; a máquina permite apenas t=5. Então devemos cortar/ajustar mantendo os primeiros 5 dígitos significativos 8,4,7,2,3 e tratar o dígito que sobra (o sexto, que é 5) conforme truncamento ou arredondamento.

Passo 7

Truncamento (como fazer e resultado).
  • Truncamento significa simplesmente eliminar os dígitos além dos t primeiros, sem alterar o último dígito mantido.
  • Mantissa com truncamento: 8,4723.
  • Representação máquina (truncamento):
8,4723\times 10^{5}.
  • Valor numérico correspondente:
8,4723\times 10^{5}=847230.

Passo 8

Arredondamento (como fazer e resultado).
  • Arredondar para t dígitos significa olhar o dígito imediatamente após o t-ésimo; se esse dígito for \ge 5 (regra “arredondar para cima”), soma-se 1 ao último dígito mantido, cuidando de ‘vai um’ se necessário.
  • No nosso caso a mantissa com muitos dígitos é 8,47235. Os primeiros 5 dígitos são 8,4,7,2,3 e o sexto dígito é 5.
  • Pelo critério usual de arredondamento (metade para cima), o 5 faz subir o último dígito mantido 3 para 4. Não há propagação de vai-um além disso.
  • Mantissa com arredondamento: 8,4724.
  • Representação máquina (arredondamento):
8,4724\times 10^{5}.
  • Valor numérico correspondente:
8,4724\times 10^{5}=847240.

Resposta

(a) menor número em módulo: 10^{-6}. maior número em módulo: 9,9999\times 10^{6}=9\,999\,900
(b) arredondamento: 8,4724\times 10^{5} (corresponde a 847240); truncamento: 8,4723\times 10^{5} (corresponde a 847230).

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