A função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
a) Use essa aproximação para calcular
.
b) Sabendo que o valor exato é aproximadamente 1,64872 , calcule o erro absoluto.
c) Explique por que esse erro é classificado como erro de truncamento.
b) Sabendo que o valor exato é aproximadamente 1,64872 , calcule o erro absoluto.
c) Explique por que esse erro é classificado como erro de truncamento.
Passo 1
O enunciado nos dá a aproximação por séries de Taylor truncada:
e pede três coisas:
- (a) calcular a aproximação de
usando essa fórmula; - (b) dado que o valor exato é aproximadamente
, calcular o erro absoluto; - (c) explicar por que esse erro é classificado como erro de truncamento.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A fórmula aproximada (truncada) da série de Taylor para
. - O valor de
para o qual devemos avaliar: . - O valor exato aproximado:
.
Também é útil ter à mão definições:
- Fatorial:
. Assim e . - Erro absoluto:
.
Passo 2
Calcular a aproximação usando a fórmula fornecida para
.
Primeiro calcule cada termo da aproximação:
- O primeiro termo é
. - O segundo termo é
, ou seja . - O terceiro termo é
. Calcule e : Portanto
Agora some os termos:
Logo a aproximação pedida em (a) é
.
Passo 3
Calcular o erro absoluto pedido em (b).
Usando a definição de erro absoluto:
Faça a subtração:
Portanto o erro absoluto é
.
Passo 4
Interpretação do sinal do erro (curto comentário útil para a prova).
Para
todos os termos da série de Taylor de
são positivos. Ao truncar a série depois do termo de ordem
estamos omitindo termos positivos de ordens superiores (
). Por isso a aproximação subestima o valor real de
quando
. No nosso caso isso explica por que
é menor que
e o erro (valor exato menos aproximado) é positivo.
Passo 5
Explicação didática do que é erro de truncamento e por que o erro aqui é desse tipo.
A série de Taylor de
em torno de
é uma soma infinita:
A aproximação usada no enunciado corta (trunca) essa soma infinita e retém apenas os termos até
. O erro introduzido por essa prática — a diferença entre a soma infinita exata e a soma parcial usada — chama‑se erro de truncamento.
O teorema do restante de Taylor (forma de Lagrange) dá uma expressão para esse resto: existe algum
entre
e
tal que
No caso de
temos
, então
para algum
. Como
quando
, obtemos um limite superior do resto:
Aplicando ao nosso caso (
):
- Calcule
. -
. - Portanto
. - Multiplicando por
dá um limite:
Esse cálculo mostra que o erro real
está dentro do limite esperado para o resto da série; confirma que o erro decorre exatamente da omissão dos termos de ordem superior — por isso é chamado de erro de truncamento.
Distinção curta e prática: erro de truncamento vem de cortar uma representação infinita (como uma série ou um método iterativo); erro de arredondamento (round‑off) vem da representação numérica finita dos números na calculadora/computador. Aqui o erro principal é de truncamento porque estamos deliberadamente cortando a série.
Passo 6
Dica prática para a prova: se precisar de maior precisão, inclua o próximo termo
ou use o limite do resto para garantir que a aproximação é boa o suficiente sem calcular muitos termos. Fica a moral: para
pequeno poucos termos já são razoáveis; para
maior são necessários mais termos.
Resposta
(a)
(b)
(c) É erro de truncamento porque foi cortada (truncada) a série infinita de Taylor depois do termo , ou seja, a diferença decorre da omissão dos termos de ordem superior; o restante pode ser estimado pela forma de Lagrange do resto.
(b)
(c) É erro de truncamento porque foi cortada (truncada) a série infinita de Taylor depois do termo