A função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2!}
a) Use essa aproximação para calcular e^{0,5}.
b) Sabendo que o valor exato é aproximadamente 1,64872 , calcule o erro absoluto.
c) Explique por que esse erro é classificado como erro de truncamento.

Passo 1

O enunciado nos dá a aproximação por séries de Taylor truncada:
e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2!}
e pede três coisas:
  • (a) calcular a aproximação de e^{0,5} usando essa fórmula;
  • (b) dado que o valor exato é aproximadamente 1,64872, calcular o erro absoluto;
  • (c) explicar por que esse erro é classificado como erro de truncamento.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A fórmula aproximada (truncada) da série de Taylor para e^{x}.
  • O valor de x para o qual devemos avaliar: x=0,5.
  • O valor exato aproximado: e^{0,5}\approx 1,64872.
Também é útil ter à mão definições:
  • Fatorial: n! = 1\cdot 2\cdot 3 \cdots n. Assim 2! = 2 e 3! = 6.
  • Erro absoluto: \text{erro absoluto} = \left|\,\text{valor exato} - \text{valor aproximado}\,\right|.

Passo 2

Calcular a aproximação usando a fórmula fornecida para x=0,5.
Primeiro calcule cada termo da aproximação:
  • O primeiro termo é 1.
  • O segundo termo é x, ou seja x=0,5.
  • O terceiro termo é \dfrac{x^{2}}{2!}. Calcule x^{2} e 2!: x^{2} = (0,5)^{2} = 0,25, \qquad 2! = 2.Portanto \frac{x^{2}}{2!} = \frac{0,25}{2} = 0,125.
Agora some os termos:
1 + 0,5 + 0,125 = 1,625.
Logo a aproximação pedida em (a) é \,1,625.

Passo 3

Calcular o erro absoluto pedido em (b).
Usando a definição de erro absoluto:
\text{erro absoluto} = \left|\,\text{valor exato} - \text{valor aproximado}\,\right| = \left|\,1,64872 - 1,625\,\right|.
Faça a subtração:
1,64872 - 1,625 = 0,02372.
Portanto o erro absoluto é 0,02372.

Passo 4

Interpretação do sinal do erro (curto comentário útil para a prova).
Para x>0 todos os termos da série de Taylor de e^{x} são positivos. Ao truncar a série depois do termo de ordem x^{2} estamos omitindo termos positivos de ordens superiores ( x^{3}/3!, x^{4}/4!,\dots). Por isso a aproximação subestima o valor real de e^{x} quando x>0. No nosso caso isso explica por que 1,625 é menor que 1,64872 e o erro (valor exato menos aproximado) é positivo.

Passo 5

Explicação didática do que é erro de truncamento e por que o erro aqui é desse tipo.
A série de Taylor de e^{x} em torno de 0 é uma soma infinita:
e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots
A aproximação usada no enunciado corta (trunca) essa soma infinita e retém apenas os termos até x^{2}/2!. O erro introduzido por essa prática — a diferença entre a soma infinita exata e a soma parcial usada — chama‑se erro de truncamento.
O teorema do restante de Taylor (forma de Lagrange) dá uma expressão para esse resto: existe algum \xi entre 0 e x tal que
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^{3}.
No caso de f(x)=e^{x} temos f^{(3)}(t)=e^{t}, então
R_{2}(x)=\frac{e^{\xi}}{3!}\,x^{3}
para algum \xi\in(0,x). Como e^{\xi}\le e^{x} quando 0\le\xi\le x, obtemos um limite superior do resto:
|R_{2}(x)| \le \frac{e^{x}}{3!}\,|x|^{3}.
Aplicando ao nosso caso ( x=0,5):
  • Calcule (0,5)^{3} = 0,125.
  • 3! = 6.
  • Portanto \dfrac{(0,5)^{3}}{3!} = \dfrac{0,125}{6} \approx 0,0208333.
  • Multiplicando por e^{0,5}\approx 1,64872 dá um limite: |R_{2}(0,5)| \le 1,64872 \times 0,0208333 \approx 0,03435.
Esse cálculo mostra que o erro real 0,02372 está dentro do limite esperado para o resto da série; confirma que o erro decorre exatamente da omissão dos termos de ordem superior — por isso é chamado de erro de truncamento.
Distinção curta e prática: erro de truncamento vem de cortar uma representação infinita (como uma série ou um método iterativo); erro de arredondamento (round‑off) vem da representação numérica finita dos números na calculadora/computador. Aqui o erro principal é de truncamento porque estamos deliberadamente cortando a série.

Passo 6

Dica prática para a prova: se precisar de maior precisão, inclua o próximo termo \dfrac{x^{3}}{3!} ou use o limite do resto para garantir que a aproximação é boa o suficiente sem calcular muitos termos. Fica a moral: para x pequeno poucos termos já são razoáveis; para x maior são necessários mais termos.

Resposta

(a) 1,625
(b) 0,02372
(c) É erro de truncamento porque foi cortada (truncada) a série infinita de Taylor depois do termo \dfrac{x^{2}}{2!}, ou seja, a diferença decorre da omissão dos termos de ordem superior; o restante pode ser estimado pela forma de Lagrange do resto.

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