Explique como a rotação de um vetor no
por um ângulo
pode ser vista como uma transformação linear em um espaço vetorial. Como a matriz que representa essa transformação pode ser escrita em termos de senos e cossenos?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a rotação de um vetor em
por um ângulo
pode ser encarada como uma transformação linear, ou seja, uma aplicação
que preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Em seguida, precisamos obter a matriz dessa transformação na base canônica de
, escrevendo seus componentes em função de
e
.
Passo 2
Para ver que a rotação
é linear, basta observar que girar a soma de dois vetores é o mesmo que girar cada um e depois somar, e girar um múltiplo escalar é o mesmo que multiplicar o vetor girado. Mais formalmente, se
e
, então
Essas duas propriedades provam que
é de fato uma transformação linear.
Passo 3
Para achar a matriz de
na base canônica
,
, calculamos
Numa transformação linear, as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base. Logo, a matriz de
é
Resposta
A rotação em
por um ângulo
é a transformação linear
cuja matriz na base canônica é