Explique como a rotação de um vetor no R^2 por um ângulo theta pode ser vista como uma transformação linear em um espaço vetorial. Como a matriz que representa essa transformação pode ser escrita em termos de senos e cossenos?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a rotação de um vetor em R^2 por um ângulo theta pode ser encarada como uma transformação linear, ou seja, uma aplicação Tcolon R^2toR^2 que preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Em seguida, precisamos obter a matriz dessa transformação na base canônica de R^2, escrevendo seus componentes em função de costheta e sintheta.

Passo 2

Para ver que a rotação T é linear, basta observar que girar a soma de dois vetores é o mesmo que girar cada um e depois somar, e girar um múltiplo escalar é o mesmo que multiplicar o vetor girado. Mais formalmente, se u,vinR^2 e alphainR, então
T(u+v) = rotação de (u+v) = rotação de u ;+;rotação de v = T(u) + T(v), çãçãçã
T(alpha,u) = rotação de (alpha,u) = alpha;l(rotação de ur) = alpha,T(u) çãçã
Essas duas propriedades provam que T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

Para achar a matriz de T na base canônica
e1=(1,0), e2=(0,1), calculamos
T(e1) = rotação de (1,0) = (costheta,;sintheta), çã
T(e2) = rotação de (0,1) = (-sintheta,;costheta) çã
Numa transformação linear, as colunas da matriz são as imagens dos vetores da base. Logo, a matriz de T é
Rtheta = costheta & -sintheta [6pt] sintheta & costheta ]

Resposta

A rotação em R^2 por um ângulo theta é a transformação linear T cuja matriz na base canônica é
Rtheta = costheta & -sintheta [6pt] sintheta & costheta ]

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