Considere um sistema constituído por duas cascas esféricas condutoras, concêntricas, a interna com raio r e carga +2 q e a externa com raio R e carga -q. Determine a diferença de potencial entre as esferas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema com duas cascas esféricas condutoras que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro. A casca interna tem raio $ r $ e carga $ +2q $, e a externa tem raio $ R $ e carga $ -q $. Nosso objetivo é descobrir a diferença de potencial elétrico entre essas duas esferas.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos de eletricidade estática, como o campo elétrico gerado por uma esfera carregada e como calcular o potencial elétrico a partir desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo elétrico criado por cada uma das esferas. Para uma esfera condutora carregada, o campo elétrico fora dela é o mesmo que se a carga estivesse concentrada no centro. Isso significa que:
  • Para o espaço entre as esferas (entre $ r $ e $ R $), o campo elétrico é determinado apenas pela carga da esfera interna, que é $ +2q $.
  • Fora da esfera externa (para $ r > R $), o campo elétrico é determinado pela soma das cargas das duas esferas, ou seja, $ +2q + (-q) = +q $.
Dentro da casca condutora externa (entre $ r $ e $ R $), não há campo elétrico, já que as cargas se distribuem na superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico em diferentes regiões. O potencial é uma grandeza escalar, então para calcular a diferença de potencial entre as esferas, podemos integrar o campo elétrico.
O potencial devido a uma carga pontual (ou esfera condutora) no ponto a uma distância $ r $ é dado por:
r
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $) e $ Q $ é a carga.

Passo 4

Vamos calcular o potencial na casca interna e na casca externa devido às próprias esferas e à outra esfera.
  1. Potencial na casca interna ($ V_{interna} $):
    • Devido à carga $ +2q $ da própria casca interna: Vinterna
    • Devido à carga $ -q $ da casca externa. Como a casca externa está fora da casca interna, para pontos dentro da casca externa, o potencial devido à casca externa é constante e igual a $ \frac{k \cdot (-q)}{R} $: +2q
    • Então: Vinterna = k cdot 2qr
  2. Potencial na casca externa ($ V_{externa} $):
    • Devido à carga $ +2q $ da casca interna: -q
    • Devido à carga $ -q $ da própria casca externa: k cdot (-q)R

Passo 5

Agora, para encontrar a diferença de potencial entre as esferas, subtraímos o potencial da casca interna pelo da casca externa:
De
Simplificando:
De
Podemos fatorar $ 2kq $:
2kq

Resposta

A diferença de potencial entre as esferas é $ \Delta V = 2kq \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) $.

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