Uma esfera dielétrica possui uma carga total
. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas volumétrica
, onde
é uma constante, e
é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine:
© o potencial para os pontos no interior da esfera,
.
© o potencial para os pontos no interior da esfera,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera dielétrica com carga total
e uma distribuição de carga que varia com a distância ao centro, dado por
. O que a gente precisa encontrar aqui é o potencial elétrico dentro da esfera, ou seja, para pontos onde a distância
até o centro é menor que o raio
da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída dentro da esfera. A densidade de carga é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do ponto ao centro. Para encontrar o total de carga dentro de um raio
, usamos a integral da densidade de carga sobre o volume.
Passo 3
A carga total dentro de um raio
é:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
dentro da esfera. A Lei de Gauss diz que:
Para uma distribuição esférica, o campo elétrico é radial e igual em toda a superfície esférica de raio
, então:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o campo elétrico em mãos, podemos encontrar o potencial elétrico
. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Vamos assumir que o potencial tende a zero no infinito, mas como estamos dentro da esfera, vamos integrar de
até
.
Passo 6
Integrando o campo elétrico:
Onde
é o potencial na superfície da esfera.
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Agora, precisamos determinar
. Para isso, consideramos que o potencial na superfície da esfera devido à carga total
é:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando os termos:
Resposta
O potencial para pontos no interior da esfera, onde
, é dado por: