Uma esfera dielétrica possui uma carga total Q. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas volumétrica rho=Br, onde B é uma constante, e r é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine:
© o potencial para os pontos no interior da esfera, r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera dielétrica com carga total Q e uma distribuição de carga que varia com a distância ao centro, dado por rho = Br. O que a gente precisa encontrar aqui é o potencial elétrico dentro da esfera, ou seja, para pontos onde a distância r até o centro é menor que o raio R da esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída dentro da esfera. A densidade de carga é dada por rho = Br, onde B é uma constante e r é a distância do ponto ao centro. Para encontrar o total de carga dentro de um raio r, usamos a integral da densidade de carga sobre o volume.

Passo 3

A carga total dentro de um raio r é:
Qenc(r) = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r Br' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi B integral0^r r'^3 dr'
Calculando a integral:
Qenc(r) = 4pi B [r'^44]0^r = pi B r^4

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E(r) dentro da esfera. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Para uma distribuição esférica, o campo elétrico é radial e igual em toda a superfície esférica de raio r, então:
E(r) cdot 4pi r^2 = pi B r^4varepsilon0
Resolvendo para E(r):
E(r) = B r^24 varepsilon0

Passo 5

Com o campo elétrico em mãos, podemos encontrar o potencial elétrico V(r). Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(r) = - integral E(r) dr + constante
Vamos assumir que o potencial tende a zero no infinito, mas como estamos dentro da esfera, vamos integrar de r até R.

Passo 6

Integrando o campo elétrico:
V(r) = - integralr^R B r'^24 varepsilon0 dr' + V(R)
Onde V(R) é o potencial na superfície da esfera.

Passo 7

Calculando a integral:
V(r) = - B4 varepsilon0 [ r'^33 ]r^R + V(R) = - B12 varepsilon0 (R^3 - r^3) + V(R)

Passo 8

Agora, precisamos determinar V(R). Para isso, consideramos que o potencial na superfície da esfera devido à carga total Q é:
V(R) = Q4pi varepsilon0 R
Mas sabemos que Q = pi B R^4, então substituindo:
V(R) = pi B R^44pi varepsilon0 R = B R^34 varepsilon0

Passo 9

Substituindo V(R) na expressão de V(r):
V(r) = - B12 varepsilon0 (R^3 - r^3) + B R^34 varepsilon0 = B R^34 varepsilon0 - B (R^3 - r^3)12 varepsilon0
Simplificando os termos:
V(r) = B R^36 varepsilon0 + B r^312 varepsilon0

Resposta

O potencial para pontos no interior da esfera, onde r < R, é dado por:
V(r) = B12,varepsilon0 (3 R^3 - r^3)

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