Um rio de 200 m de largura corre com velocidade constante de 1,1 m / s em uma floresta, na direção leste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0 m / s em relação à água. Existe outra clareira na margem norte, 82 m rio acima do ponto de vista de um local da margem sul exatamente em frente à segunda clareira. Qual é o ângulo que a velocidade do barco em relação à água faz com a direção norte?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um rio de 200 metros de largura que está correndo para o leste a 1,1 m/s. Um explorador quer atravessar esse rio de uma clareira na margem sul até outra clareira na margem norte, que está 82 metros rio acima em relação ao ponto diretamente oposto. Ele vai usar um barco a motor que se move a 4,0 m/s em relação à água. Nosso objetivo é descobrir qual o ângulo que o barco deve fazer em relação à direção norte para alcançar essa clareira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores de velocidade e decomposição de componentes usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as velocidades envolvidas. O barco tem uma velocidade de 4,0 m/s em relação à água, e o rio tem uma velocidade de 1,1 m/s para o leste. Queremos que a combinação dessas duas velocidades faça com que o barco chegue à clareira desejada.

Passo 3

Vamos decompor a velocidade do barco em duas componentes: uma na direção norte (V_bn) e outra na direção oeste (V_bw). O ângulo θ que queremos encontrar é entre a direção norte e a velocidade do barco em relação à água.

Passo 4

A componente norte da velocidade do barco (V_bn) é responsável por atravessar os 200 metros do rio. A componente oeste (V_bw) vai compensar a corrente do rio para que o barco chegue 82 metros rio acima do ponto diretamente oposto.

Passo 5

O tempo que o barco leva para atravessar o rio é o mesmo para compor a distância rio acima. Podemos calcular o tempo (t) usando a componente norte:
t = Distância norteComponente norte da velocidade = 200, mVbn â

Passo 6

Durante esse tempo, a corrente do rio vai deslocar o barco para o leste. Mas queremos que o barco chegue 82 metros rio acima do ponto diretamente oposto, ou seja, 82 metros para o oeste. Então, a componente oeste da velocidade do barco deve compensar a corrente do rio e ainda permitir esse deslocamento:
Vbw = 82, mt + 1,1, m/s

Passo 7

Substituindo t da equação anterior:
Vbw = 82200 / Vbn + 1,1 = 82 cdot Vbn200 + 1,1

Passo 8

Sabemos que a velocidade do barco em relação à água é 4,0 m/s e que:
Vbn^2 + Vbw^2 = 4,0^2
Substituindo V_bw da equação anterior:
Vbn^2 + ( 82 cdot Vbn200 + 1,1 )^2 = 16

Passo 9

Resolvendo essa equação para V_bn:
Primeiro, calcule $ \frac{82}{200} = 0,41 $, então:
82200 = 0,41
Expandindo:
Vbn^2 + (0,41 cdot Vbn + 1,1)^2 = 16
Vbn^2 + 0,1681 Vbn^2 + 0,902 Vbn + 1,21 = 16
1,1681 Vbn^2 + 0,902 Vbn + 1,21 - 16 = 0

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática para V_bn usando a fórmula de Bhaskara:
Vbn = -0,902 pm raiz0,902^2 - 4 cdot 1,1681 cdot (-14,79) 2 cdot 1,1681
Calculando o discriminante:
De
Então:
Vbn = -0,902 pm raiz70,010 2,3362
Vbn = -0,902 pm 8,366 2,3362
Desconsideramos a solução negativa:
Vbn = 7,4642,3362 approx 3,19, m/s

Passo 11

Agora, encontramos V_bn ≈ 3,19 m/s. Vamos encontrar V_bw usando a equação anterior:
Vbw = 82 cdot 3,19200 + 1,1 approx 261,58200 + 1,1 approx 1,3079 + 1,1 = 2,4079, m/s

Passo 12

Agora que temos as componentes da velocidade do barco, podemos encontrar o ângulo θ usando a tangente:
tan(theta) = VbwVbn = 2,4083,19 approx 0,755
Então:
theta = arctan(0,755) approx 36,8^circ

Resposta

O ângulo que a velocidade do barco em relação à água faz com a direção norte é aproximadamente 36,8 graus.

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