Considere um sistema constituído por duas partículas, cada uma das quais pode estar em um dos três estados quânticos com respectivas energias 0, \epsilon e 3 \epsilon. O sistema está em contato com um reservatório térmico à temperatura T=(k \beta)^{-1}.
Escreva uma expressāo para a funçāo de partiçāo Z se as partículas obedecem à estatística clássica de Maxwell-Boltzmann (MB) e sāo consideradas distinguíveis.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema canônico à temperatura T=(k\beta)^{-1}, formado por duas partículas distinguíveis, cada uma podendo ocupar um dos três níveis de energia 0, \epsilon e 3\epsilon. Como seguem estatística de Maxwell–Boltzmann, a função de partição total Z será obtida a partir das partições individuais de cada partícula.

Passo 2

Primeiro calculamos a função de partição de uma única partícula, que chamaremos de z_{1}. Ela é dada pela soma das contribuições de Boltzmann para cada nível de energia:
z_{1} \;=\; \sum_{i} e^{-\beta E_{i}} \;=\; e^{-\beta\cdot 0} \;+\; e^{-\beta\epsilon} \;+\; e^{-\beta\,(3\epsilon)} \;=\; 1 \;+\; e^{-\beta\epsilon} \;+\; e^{-3\beta\epsilon}.

Passo 3

Como as duas partículas são distinguíveis e não interagem, a função de partição total Z é o produto das partições individuais:
Z \;=\; z_{1}\,\times\,z_{1} \;=\; \bigl(1 + e^{-\beta\epsilon} + e^{-3\beta\epsilon}\bigr)^{2}.

Resposta

Z \;=\;\bigl(1 + e^{-\beta\epsilon} + e^{-3\beta\epsilon}\bigr)^{2}.

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