Exercício 6.52. (Segunda prova, 27 de maio de 2011) Calcule os limites
\lim _{z \rightarrow \infty}\left(\frac{z+9}{z-9}\right)^{z}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} x^{\ln x} e^{-x}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2 x+1}}{\sqrt{x-1000}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites quando a variável tende a +\infty: \lim_{z\to\infty}\bigl(\tfrac{z+9}{z-9}\bigr)^z, \lim_{x\to\infty}x^{\ln x}e^{-x} e \lim_{x\to\infty}\tfrac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1000}}.
O conteúdo envolve limites do tipo exponencial indeterminado, uso de logaritmos para lidar com potências e fatoração em radicais para simplificar a terceira expressão.

Passo 2

Para \displaystyle L_1=\lim_{z\to\infty}\bigl(\tfrac{z+9}{z-9}\bigr)^z usamos logaritmo:
\ln L_1 = \lim_{z\to\infty} z\,\ln\Bigl(1+\frac{18}{z-9}\Bigr).
Como z\to\infty, \ln(1+y)\sim y, logo
\ln L_1 \sim \lim_{z\to\infty} z\cdot\frac{18}{z-9} =18.
Portanto L_1=e^{18}.

Passo 3

Para \displaystyle L_2=\lim_{x\to\infty}x^{\ln x}e^{-x} escrevemos
x^{\ln x}e^{-x} = \exp\bigl(\ln(x^{\ln x}e^{-x})\bigr) = \exp\bigl((\ln x)^2 - x\bigr).
Como x\to\infty, (\ln x)^2 cresce muito mais devagar que x, então
(\ln x)^2 - x \longrightarrow -\infty,
e daí L_2=0.

Passo 4

Para \displaystyle L_3=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1000}} fatoramos x dentro da raiz:
\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1000}} = \sqrt{\frac{2x+1}{\,x-1000\,}} = \sqrt{2 + \frac{2001}{x-1000}}.
À medida que x\to\infty, o termo \tfrac{2001}{x-1000}\to0, logo L_3=\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{z\to\infty}\bigl(\tfrac{z+9}{z-9}\bigr)^z = e^{18} \displaystyle \lim_{x\to\infty}x^{\ln x}e^{-x} = 0 \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1000}} = \sqrt{2}

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