Considere um sistema constituído por duas partículas, cada uma das quais pode estar em um dos três estados quânticos com respectivas energias 0, \epsilon e 3 \epsilon. O sistema está em contato com um reservatório térmico à temperatura T=(k \beta)^{-1}.
Qual é Z se as partículas obedecem à estatística de Bose-Einstein (BE)?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas partículas idênticas (bosônicas) em contato com um reservatório térmico à temperatura T=(k\beta)^{-1}. Cada partícula pode ocupar um dos três níveis de energia \{0,\epsilon,3\epsilon\}. Queremos o particionamento canônico do sistema de N=2 bosons, ou seja
Z = \sum_{\{n_i\}} e^{-\beta \sum_i n_i\epsilon_i}
sujeito a \sum_i n_i=2.

Passo 2

Para partículas de Bose–Einstein, ocupações n_i\ge0 e indistinguibilidade implica
Z = \sum_{n_1+n_2+n_3=2} e^{-\beta\bigl(n_1\epsilon_1 + n_2\epsilon_2 + n_3\epsilon_3\bigr)}
onde escolhemos \epsilon_1=0, \epsilon_2=\epsilon e \epsilon_3=3\epsilon.

Passo 3

Listamos todas as distribuições de ocupação (n_1,n_2,n_3) com soma igual a 2:
  1. Dois no nível \epsilon_1=0: (2,0,0)
  2. Dois no nível \epsilon_2=\epsilon: (0,2,0)
  3. Dois no nível \epsilon_3=3\epsilon: (0,0,2)
  4. Um em 0 e um em \epsilon: (1,1,0)
  5. Um em 0 e um em 3\epsilon: (1,0,1)
  6. Um em \epsilon e um em 3\epsilon: (0,1,1)

Passo 4

Calculamos a contribuição e^{-\beta E_{\rm tot}} de cada caso, sendo E_{\rm tot}=n_1\cdot0+n_2\cdot\epsilon+n_3\cdot3\epsilon:
  • (2,0,0): E=0;→; e^{-\beta\cdot0}=1
  • (0,2,0): E=2\epsilon;→; e^{-2\beta\epsilon}
  • (0,0,2): E=6\epsilon;→; e^{-6\beta\epsilon}
  • (1,1,0): E=\epsilon;→; e^{-\beta\epsilon}
  • (1,0,1): E=3\epsilon;→; e^{-3\beta\epsilon}
  • (0,1,1): E=4\epsilon;→; e^{-4\beta\epsilon}

Passo 5

Somando todas as contribuições obtemos
Z \;=\; 1 \;+\; e^{-\beta\epsilon}\;+\;e^{-2\beta\epsilon}\;+\;e^{-3\beta\epsilon}\;+\;e^{-4\beta\epsilon}\;+\;e^{-6\beta\epsilon}.

Resposta

Z \;=\; 1 + e^{-\beta\epsilon} + e^{-2\beta\epsilon} + e^{-3\beta\epsilon} + e^{-4\beta\epsilon} + e^{-6\beta\epsilon}.

Exercícios relacionados