Exercício 6.51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x^{x}}.
O conteúdo envolvido é limite de expressão com base e expoente variáveis em forma de potencial, e vamos usar logaritmo para transformar o problema num limite de soma/produto.

Passo 2

Defina
y = x^{x^{x}}.
Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para facilitar:
\ln y = x^{x}\,\ln x.

Passo 3

Antes de avaliar \ln y, calculamos
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x}.
Como
x^{x} = e^{x\ln x},
e \lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0, segue que
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x} = e^{0} = 1.

Passo 4

Agora, usando o resultado anterior, temos
\lim_{x\to 0^{+}} \ln y = \lim_{x\to 0^{+}} \bigl(x^{x}\ln x\bigr) = 1 \cdot (-\infty) = -\infty.
Isso significa que \ln y\to -\infty, logo y\to 0.

Resposta

\lim_{x\to 0^{+}} x^{x^{x}} = 0.

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