Resolva as inequações seguintes, em mathbb{R}.
\left|x^{2}-3 x-4\right| \leqslant 6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Foi dada a inequação em \mathbb{R}:
\left|x^{2}-3x-4\right| \leqslant 6.
  • A pergunta é: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e como transformá-lo em uma desigualdade comum.
  • Lembrete didático rápido: para qualquer expressão A e número a\geq 0 vale
|A| \leq a \iff -a \le A \le a.
Isto vem da interpretação geométrica de |A| como distância de A até 0.
  • Aplicando ao nosso caso com A = x^{2}-3x-4 e a=6, obtemos a dupla desigualdade
-6 \le x^{2}-3x-4 \le 6.

Passo 3

Separar a dupla desigualdade em duas desigualdades mais simples que podemos resolver.
A dupla -6 \le x^{2}-3x-4 \le 6 é equivalente ao sistema
x^{2}-3x-4 \le 6 \qquad\text{e}\qquad x^{2}-3x-4 \ge -6.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade x^{2}-3x-4 \le 6.
  • Reescrevendo:
x^{2}-3x-4 \le 6 \iff x^{2}-3x-10 \le 0.
  • Calcular as raízes do polinômio x^{2}-3x-10. O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49.
  • As raízes são
x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{3\pm7}{2},
ou seja x=-2 e x=5.
  • Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola para cima), a inequação x^{2}-3x-10 \le 0 é satisfeita para x entre as raízes. Logo
x\in[-2,5].

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade x^{2}-3x-4 \ge -6.
  • Reescrevendo:
x^{2}-3x-4 \ge -6 \iff x^{2}-3x+2 \ge 0.
  • Fatorando o quadrado:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
  • As raízes são x=1 e x=2. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a expressão é não negativa fora do intervalo entre as raízes. Portanto
x\in(-\infty,1]\cup[2,\infty).

Passo 6

Interseção das soluções das duas desigualdades (pois ambas devem valer ao mesmo tempo).
  • Temos as duas soluções parciais:
[-2,5] \qquad\text{e}\qquad (-\infty,1]\cup[2,\infty).
  • A interseção é
[-2,5]\cap\bigl((-\infty,1]\cup[2,\infty)\bigr) =([-2,5]\cap(-\infty,1])\;\cup\;([-2,5]\cap[2,\infty)).
  • Calculando cada interseção:
[-2,5]\cap(-\infty,1]=[-2,1], \qquad [-2,5]\cap[2,\infty)=[2,5].
  • Portanto a solução conjunta é
[-2,1]\cup[2,5].

Passo 7

Verificações rápidas (sanity checks) para confirmar inclusão/exclusão e os extremos.
  • Testar x=0\in[-2,1]: x^{2}-3x-4 = -4, |-4|=4\le 6 (ok).
  • Testar x=1{,}5 entre 1 e 2 (deve ser excluído): 1{,}5^{2}-3\cdot1{,}5-4=2{,}25-4{,}5-4=-6{,}25, |-6{,}25|=6{,}25>6 (excluído, como esperado).
  • Testar x=3\in[2,5]: 9-9-4=-4, |-4|=4\le6 (ok).
  • Verificar extremos: para x=-2,1,2,5 a expressão dentro do valor absoluto vale \pm6, então os extremos são incluídos (porque a desigualdade é \le).

Passo 8

Interpretação final e incentivo.
  • Concluímos que todos os x que satisfazem a inequação original são exatamente os que estão em [-2,1]\cup[2,5]. Dá pra levar essa técnica para qualquer inequação do tipo |f(x)|\le a: transformar em uma dupla desigualdade e resolver cada parte. Vai dar certo — confiança e prática!

Resposta

[ -2,1 ] \cup [ 2,5 ]

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