Considere três sistemas LSI 1D H_{1}, H_{2}, H_{3} com PSFs
h_{i}(x)=\frac{1}{2 a_{i}} e^{-|x| / a_{i}}, \quad a_{i}>0, i=1,2,3 .
(a) Mostre que, para cada sistema,
H_{i}(u)=\frac{1}{1+\left(2 \pi a_{i} u\right)^{2}} .
(b) Calcule \operatorname{MTF}(u)_{\text {tot }} para a_{1}=0,5, a_{2}=0,3, a_{3}=0,2 na frequência u=1,0 \mathrm{~mm}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá três sistemas LSI 1D com funções de resposta ao impulso (PSF)
h_{i}(x)=\frac{1}{2a_{i}}e^{-|x|/a_{i}},\qquad a_{i}>0,\; i=1,2,3.
Pede duas coisas:
  • (a) Mostrar, para cada sistema, que a resposta em frequência é
H_{i}(u)=\frac{1}{1+\left(2\pi a_{i} u\right)^{2}}.
  • (b) Calcular a MTF total (produto das MTFs dos três sistemas em cascata) para a_{1}=0,5, a_{2}=0,3, a_{3}=0,2 na frequência u=1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1}.
Informações relevantes dadas:
  • Cada h_i(x) é uma função even (simétrica) e está normalizada (integral unitária), o que implica H_i(0)=1.
  • Para sistemas LSI em cascata, a resposta em frequência total é o produto das respostas em frequência individuais.
  • Precisamos usar a transformada de Fourier 1D contínua com a convenção de frequência espacial u (ciclos por unidade de comprimento), portanto a transformada de h(x) é
H(u)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x)e^{-j2\pi u x}\,dx.

Passo 2

Estratégia para (a): calcular explicitamente a transformada de Fourier de h_i(x) usando a definição dada. Vou aproveitar que h_i(x) é even (depende de |x|), o que reduz a integral ao cosseno (paridade): para uma função even f,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-j2\pi u x}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(2\pi u x)\,dx.
Aplicando isso a h_i permite escrever H_i(u) como uma integral simples em [0,\infty).

Passo 3

Escrevendo a transformada para h_i:
H_i(u)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2a_i}e^{-|x|/a_i}e^{-j2\pi u x}\,dx.
Como h_i é even, uso a redução para cosseno:
H_i(u)=\frac{1}{a_i}\int_{0}^{\infty} e^{-x/a_i}\cos(2\pi u x)\,dx.
Agora resta calcular a integral
I(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\cos(\beta x)\,dx,
com \alpha=1/a_i>0 e \beta=2\pi u.

Passo 4

Calcular I(\alpha,\beta). Uma maneira direta é usar a relação com exponencial complexa:
\cos(\beta x)=\Re\bigl(e^{j\beta x}\bigr),
logo
I(\alpha,\beta)=\Re\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha - j\beta) x}\,dx.
A integral exponencial converge porque \alpha>0. Avaliando:
\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha - j\beta) x}\,dx = \frac{1}{\alpha - j\beta}.
Tomando parte real:
I(\alpha,\beta)=\Re\!\left(\frac{1}{\alpha - j\beta}\right)=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+\beta^{2}}.
(Outra forma conhecida: \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\cos(\beta x)\,dx=\dfrac{\alpha}{\alpha^{2}+\beta^{2}}.)

Passo 5

Volto a H_i(u). Substituindo \alpha=1/a_i e \beta=2\pi u na expressão obtida:
H_i(u)=\frac{1}{a_i}\cdot\frac{\alpha}{\alpha^{2}+\beta^{2}} =\frac{1}{a_i}\cdot\frac{1/a_i}{(1/a_i^{2})+(2\pi u)^{2}}.
Simplificando o fator \dfrac{1/a_i^{2}}{(1/a_i^{2})+(2\pi u)^{2}} obtém-se
H_i(u)=\frac{1}{1+(2\pi a_i u)^{2}}.
Assim a parte (a) está demonstrada. Observação útil: em u=0 tem-se H_i(0)=1, consistente com a normalização da PSF.

Passo 6

Explicando rapidamente o que é MTF e como combinar sistemas (didática curta):
  • Para um sistema LSI, a MTF é a magnitude da resposta em frequência: \operatorname{MTF}_i(u)=|H_i(u)|. Aqui H_i(u) é real e positiva, então \operatorname{MTF}_i(u)=H_i(u).
  • Para sistemas em cascata (o sinal passa por H_1, depois H_2, depois H_3), a resposta em frequência total é o produto:
H_{\text{tot}}(u)=H_1(u)\,H_2(u)\,H_3(u),
logo a MTF total é o produto das MTFs individuais:
\operatorname{MTF}_{\text{tot}}(u)=\prod_{i=1}^{3}\frac{1}{1+(2\pi a_i u)^{2}}.

Passo 7

Agora calcular numericamente para a_{1}=0{,}5, a_{2}=0{,}3, a_{3}=0{,}2 e u=1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1}.
Calculo dos fatores 2\pi a_i u:
2\pi a_1 u = 2\pi\cdot0{,}5\cdot1{,}0 = \pi \approx 3{,}14159265,
(2\pi a_1 u)^2=\pi^2\approx 9{,}86960440,
H_1(1{,}0)=\frac{1}{1+\pi^{2}}=\frac{1}{1+9{,}86960440}\approx 0{,}091982.
2\pi a_2 u = 2\pi\cdot0{,}3\cdot1{,}0 = 0{,}6\pi \approx 1{,}88495559,
(2\pi a_2 u)^2=0{,}36\pi^{2}\approx 3{,}553056,
H_2(1{,}0)=\frac{1}{1+0{,}36\pi^{2}}=\frac{1}{1+3{,}553056}\approx 0{,}219591.
2\pi a_3 u = 2\pi\cdot0{,}2\cdot1{,}0 = 0{,}4\pi \approx 1{,}25663706,
(2\pi a_3 u)^2=0{,}16\pi^{2}\approx 1{,}579137,
H_3(1{,}0)=\frac{1}{1+0{,}16\pi^{2}}=\frac{1}{1+1{,}579137}\approx 0{,}387716.

Passo 8

Produto para obter a MTF total:
\operatorname{MTF}_{\text{tot}}(1{,}0)=H_1(1{,}0)\,H_2(1{,}0)\,H_3(1{,}0)\approx 0{,}091982\cdot0{,}219591\cdot0{,}387716.
Fazendo a multiplicação (passo a passo):
0{,}091982\cdot0{,}219591\approx 0{,}0201984,
0{,}0201984\cdot0{,}387716\approx 0{,}00783\\ (\text{aprox.}).
Portanto a MTF total em u=1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1} é aproximadamente 0{,}00783.

Resposta

\displaystyle H_i(u)=\frac{1}{1+\left(2\pi a_i u\right)^{2}}.
\displaystyle \operatorname{MTF}_{\text{tot}}(1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1})\approx 0{,}00783.

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