Considere três sistemas LSI 1D
com PSFs
(a) Mostre que, para cada sistema,
(b) Calcule
para
,
na frequência
.
Passo 1
O enunciado dá três sistemas LSI 1D com funções de resposta ao impulso (PSF)
Pede duas coisas:
- (a) Mostrar, para cada sistema, que a resposta em frequência é
- (b) Calcular a MTF total (produto das MTFs dos três sistemas em cascata) para
, , na frequência .
Informações relevantes dadas:
- Cada
é uma função even (simétrica) e está normalizada (integral unitária), o que implica . - Para sistemas LSI em cascata, a resposta em frequência total é o produto das respostas em frequência individuais.
- Precisamos usar a transformada de Fourier 1D contínua com a convenção de frequência espacial
(ciclos por unidade de comprimento), portanto a transformada de é
Passo 2
Estratégia para (a): calcular explicitamente a transformada de Fourier de
usando a definição dada. Vou aproveitar que
é even (depende de
), o que reduz a integral ao cosseno (paridade): para uma função even
,
Aplicando isso a
permite escrever
como uma integral simples em
.
Passo 3
Escrevendo a transformada para
:
Como
é even, uso a redução para cosseno:
Agora resta calcular a integral
com
e
.
Passo 4
Calcular
. Uma maneira direta é usar a relação com exponencial complexa:
logo
A integral exponencial converge porque
. Avaliando:
Tomando parte real:
(Outra forma conhecida:
.)
Passo 5
Volto a
. Substituindo
e
na expressão obtida:
Simplificando o fator
obtém-se
Assim a parte (a) está demonstrada. Observação útil: em
tem-se
, consistente com a normalização da PSF.
Passo 6
Explicando rapidamente o que é MTF e como combinar sistemas (didática curta):
- Para um sistema LSI, a MTF é a magnitude da resposta em frequência:
. Aqui é real e positiva, então . - Para sistemas em cascata (o sinal passa por
, depois , depois ), a resposta em frequência total é o produto:
logo a MTF total é o produto das MTFs individuais:
Passo 7
Agora calcular numericamente para
,
,
e
.
Calculo dos fatores
:
Passo 8
Produto para obter a MTF total:
Fazendo a multiplicação (passo a passo):
Portanto a MTF total em
é aproximadamente
.