Considere um sistema descrito pela equação de diferenças,
y[n]-\frac{1}{9} y[n-2]=x[n-1]
(a) Este sistema é BIBO-estável? Justifique sua resposta.
(b) Determine a resposta forçada deste sistema considerando x[n]=u[n].
(c) Determine a resposta completa deste sistema considerando a entrada anterior e y[-1]=1 e y[-2]=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de diferenças
y[n]-\frac{1}{9}y[n-2]=x[n-1].
As perguntas são:
(a) Este sistema é BIBO-estável? Justificar.
(b) Determinar a resposta forçada quando x[n]=u[n] (onde u[n] é o degrau unitário).
(c) Determinar a resposta completa quando x[n]=u[n] e as condições iniciais são y[-1]=1 e y[-2]=0.
Informações relevantes fornecidas:
Equação linear com coeficientes constantes (sistema linear e invariância no tempo presumidos).
Para (b) a entrada é x[n]=u[n].
Para (c) além de (b) temos y[-1]=1 e y[-2]=0.
Passo 2
Definição e estratégia para (a).
BIBO-estabilidade: um sistema LTI é BIBO-estável se e somente se sua resposta ao impulso h[n] for absolutamente somável, isto é,
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
Logo para decidir estabilidade vamos obter h[n] (resposta ao impulso) e verificar se é absolutamente somável.
Obter H(z) (função de transferência) via transformada em z. Aplicando a transformada em z da equação (assumindo condições iniciais nulas para obter H(z)):
Verificar somabilidade absoluta. Para (n\ge1], |h[n]|\le \tfrac{1}{2}\left(\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}+\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}.
Logo \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=\sum_{n=1}^{\infty}|h[n]|\le \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\tfrac{3}{2}<\infty.
Portanto o sistema é BIBO-estável.]
Passo 4
Resposta forçada para x[n]=u[n] — método: convolução y_f[n]=(h*x)[n].
Como h[k]=0 para k\le0, a soma de convolução para n torna-se
Resposta completa com condições iniciais (y[-1]=1,\;y[-2]=0).
Estratégia: a resposta total é soma da resposta forçada (obtida assumindo repouso inicial) com a resposta de zero-entrada (solução homogênea que ajusta as condições iniciais). A solução homogênea satisfaz
y_h[n]-\tfrac{1}{9}y_h[n-2]=0,
cuja equação característica é r^{2}-\tfrac{1}{9}=0 com raízes r=\pm\tfrac{1}{3}. Assim a solução homogênea geral é
Para escolher C_1,C_2 usamos os valores iniciais. Observação: a resposta particular y_f[n] vale 0 em n=-1 e n=-2 (pois y_f[n]=0 para n\le0), logo os valores iniciais devem ser totalmente produzidos por y_{zi}. Portanto: