Explicação intuitiva: o sistema é causal (devido ao u(\tau)), então só contribuem valores passados/futuros relativos à convolução com \tau\ge0.
Passo 3
Preciso saber para quais \tau a função x(t-\tau) é não nula. Lembro da definição de x:
x(s)=e^{2s} se s\le-1,
x(s)=0 se -1<s<1,
x(s)=e^{-2s} se s\ge1.
Substituindo s=t-\tau, as condições viram:
Região A (parte esquerda de x): t-\tau\le-1 \iff \tau\ge t+1. Nessa região x(t-\tau)=e^{2(t-\tau)}.
Região B (parte central): -1<t-\tau<1 (aqui x(t-\tau)=0): não contribui.
Região C (parte direita de x): t-\tau\ge1 \iff \tau\le t-1. Nessa região x(t-\tau)=e^{-2(t-\tau)}.
Mas a integração já tem \tau entre 0 e \infty. Assim os intervalos efetivos de integração são as interseções desses conjuntos com [0,\infty). Resumo:
Contribuição da Região A: \tau de \max(0,t+1) até \infty com x(t-\tau)=e^{2(t-\tau)}.
Contribuição da Região C: \tau de 0 até \min(t-1,\infty) com x(t-\tau)=e^{-2(t-\tau)}; essa contribuição só existe quando t-1\ge0, ou seja, quando t\ge1.
Passo 4
Escrevo o integral como soma das duas contribuições não nulas (quando existirem):