Considere um sistema descrito pela equação de diferenças,
(a) Este sistema é BIBO-estável? Justifique sua resposta.
(b) Determine a resposta forçada deste sistema considerando
.
(b) Determine a resposta forçada deste sistema considerando
Passo 1
O enunciado dá a equação de diferenças
e pede duas coisas:
- (a) verificar se o sistema é BIBO-estável (justificar);
- (b) determinar a resposta forçada quando
(passo a passo, assumindo sistema causal e condições iniciais nulas, isto é para ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é linear e de coeficientes constantes, relacionando
com e com entradas e . - Para (b) a entrada é o degrau unitário
, isto é para e para . - Vamos assumir resposta forçada no contexto habitual: sistema causal e repouso inicial (
para ).
Passo 2
O que significa BIBO-estável e como testar aqui (pequena aula prática).
- Definição prática: um sistema LTI é BIBO-estável se a resposta ao impulso
for absolutamente somável, isto é . - Em sistemas descritos por equações lineares a coeficientes constantes (LCCDE), é mais prático verificar os polos da função de transferência
: o sistema causal é BIBO-estável se todos os polos têm módulo menor que 1 (estão dentro do círculo unitário ). - Portanto, para decidir estabilidade basta encontrar os polos associados à parte homogênea da equação.
Passo 3
Encontrar a equação característica (homogênea) e os polos.
- A parte homogênea é
- Procuramos soluções do tipo
. Substituindo:
- As raízes são
- Na transformada
esses correspondem aos polos em e . Ambos têm módulo .
Passo 4
Conclusão sobre estabilidade (justificação final).
- Como todos os polos estão estritamente dentro do círculo unitário (
), o sistema causal é BIBO-estável. - Intuição física: as respostas homogêneas são combinações de
e , que decaem exponencialmente, logo a resposta ao impulso é absolutamente somável.
Passo 5
Plano para achar a resposta forçada com
.
- Vou usar a transformada Z assumindo repouso inicial (causalidade), obter
e então com do degrau, e inverter por frações parciais. - Lembrete de pares usuais:
-
(ROC ). -
. - Para termos do tipo
podemos relacionar com multiplicando por , o que introduz um atraso de uma amostra (gerando ou sinais deslocados).
-
Passo 6
Obter
e
.
- Aplicando Z à equação (com condições iniciais nulas):
- Portanto
- Para
temos (ROC ). Então
- Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Logo
Passo 7
Fazer decomposição em frações parciais (atenção: grau do numerador = grau do denominador).
- Como os graus são iguais, escrevemos
- Determinar
usando o comportamento para : . Assim . - Determinar
avaliando nos polos: - Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
- Portanto a decomposição é
Passo 8
Inverter
para obter
(resposta forçada).
- Interpretando os termos:
-
em corresponde a . -
corresponde a (atraso de uma amostra do degrau). -
corresponde a .
-
- Assim a resposta forçada (assumindo repouso inicial) é
- Podemos escrever de forma mais direta em índice:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
Resposta
(a) Sim. Os polos são
com
, portanto o sistema causal é BIBO-estável.
(b)
ou equivalentemente
e
para
.