Considere um sistema descrito pela equação de diferenças,
y[n]-\frac{1}{4} y[n-2]=2 x[n]+x[n-1]
(a) Este sistema é BIBO-estável? Justifique sua resposta.
(b) Determine a resposta forçada deste sistema considerando x[n]=u[n].

Passo 1

O enunciado dá a equação de diferenças
y[n]-\frac{1}{4}y[n-2]=2x[n]+x[n-1]
e pede duas coisas:
  • (a) verificar se o sistema é BIBO-estável (justificar);
  • (b) determinar a resposta forçada quando x[n]=u[n] (passo a passo, assumindo sistema causal e condições iniciais nulas, isto é y[n]=0 para n<0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear e de coeficientes constantes, relacionando y[n] com y[n-2] e com entradas x[n] e x[n-1].
  • Para (b) a entrada é o degrau unitário u[n], isto é x[n]=1 para n\ge0 e x[n]=0 para n<0.
  • Vamos assumir resposta forçada no contexto habitual: sistema causal e repouso inicial ( y[n]=0 para n<0).

Passo 2

O que significa BIBO-estável e como testar aqui (pequena aula prática).
  • Definição prática: um sistema LTI é BIBO-estável se a resposta ao impulso h[n] for absolutamente somável, isto é \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty.
  • Em sistemas descritos por equações lineares a coeficientes constantes (LCCDE), é mais prático verificar os polos da função de transferência H(z): o sistema causal é BIBO-estável se todos os polos têm módulo menor que 1 (estão dentro do círculo unitário |z|<1).
  • Portanto, para decidir estabilidade basta encontrar os polos associados à parte homogênea da equação.

Passo 3

Encontrar a equação característica (homogênea) e os polos.
  • A parte homogênea é
y_h[n]-\frac{1}{4}y_h[n-2]=0.
  • Procuramos soluções do tipo y_h[n]=r^n. Substituindo:
r^n - \frac{1}{4} r^{n-2}=0 \quad\Rightarrow\quad r^2-\frac{1}{4}=0.
  • As raízes são
r=\pm\frac{1}{2}.
  • Na transformada z esses correspondem aos polos em z=\tfrac{1}{2} e z=-\tfrac{1}{2}. Ambos têm módulo \tfrac{1}{2}<1.

Passo 4

Conclusão sobre estabilidade (justificação final).
  • Como todos os polos estão estritamente dentro do círculo unitário ( |z|=\tfrac{1}{2}<1), o sistema causal é BIBO-estável.
  • Intuição física: as respostas homogêneas são combinações de (1/2)^n e (-1/2)^n, que decaem exponencialmente, logo a resposta ao impulso é absolutamente somável.

Passo 5

Plano para achar a resposta forçada com x[n]=u[n].
  • Vou usar a transformada Z assumindo repouso inicial (causalidade), obter H(z) e então Y(z)=H(z)X(z) com X(z) do degrau, e inverter por frações parciais.
  • Lembrete de pares usuais:
    • \displaystyle Z\{a^n u[n]\}=\frac{z}{z-a} (ROC |z|>|a|).
    • \displaystyle Z\{\delta[n]\}=1.
    • Para termos do tipo \dfrac{1}{z-a} podemos relacionar com \dfrac{z}{z-a} multiplicando por z^{-1}, o que introduz um atraso de uma amostra (gerando u[n-1] ou sinais deslocados).

Passo 6

Obter H(z) e Y(z).
  • Aplicando Z à equação (com condições iniciais nulas):
Y(z) - \frac{1}{4}z^{-2}Y(z) = \bigl(2 + z^{-1}\bigr) X(z).
  • Portanto
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{2+z^{-1}}{1-\tfrac{1}{4}z^{-2}}.
  • Para x[n]=u[n] temos X(z)=\dfrac{z}{z-1} (ROC |z|>1). Então
Y(z)=H(z)X(z)=\frac{2+z^{-1}}{1-\tfrac{1}{4}z^{-2}}\cdot\frac{z}{z-1}.
  • Multiplicando numerador e denominador por z^2 para simplificar:
\frac{2+z^{-1}}{1-\tfrac{1}{4}z^{-2}}=\frac{(2z+1)z}{z^2-\tfrac{1}{4}}=\frac{2z^2+z}{z^2-\tfrac{1}{4}}.
Logo
Y(z)=\frac{2z^2+z}{z^2-\tfrac{1}{4}}\cdot\frac{z}{z-1}=\frac{2z^3+z^2}{(z-1)\bigl(z-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(z+\tfrac{1}{2}\bigr)}.

Passo 7

Fazer decomposição em frações parciais (atenção: grau do numerador = grau do denominador).
  • Como os graus são iguais, escrevemos
Y(z)=D+\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-\tfrac{1}{2}}+\frac{C}{z+\tfrac{1}{2}}.
  • Determinar D usando o comportamento para z\to\infty: \lim_{z\to\infty}Y(z)=y[0]=2. Assim D=2.
  • Determinar A,B,C avaliando nos polos:
    • Em z=1:
    A=\frac{2\cdot1^3+1^2}{(1-\tfrac{1}{2})(1+\tfrac{1}{2})}=\frac{3}{(1/2)(3/2)}=4.
    • Em z=\tfrac{1}{2}:
    B=\frac{2(\tfrac{1}{2})^3+(\tfrac{1}{2})^2}{\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)} =\frac{\tfrac{1}{2}}{(-\tfrac{1}{2})\cdot 1}=-1.
    • Em z=-\tfrac{1}{2}:
    C=\frac{2(-\tfrac{1}{2})^3+(-\tfrac{1}{2})^2}{\bigl(-\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)} =\frac{0}{\cdots}=0.
  • Portanto a decomposição é
Y(z)=2+\frac{4}{z-1}-\frac{1}{z-\tfrac{1}{2}}.

Passo 8

Inverter Y(z) para obter y[n] (resposta forçada).
  • Interpretando os termos:
    • 2 em Z corresponde a 2\delta[n].
    • \dfrac{4}{z-1}=4\cdot z^{-1}\cdot\frac{z}{z-1} corresponde a 4\,u[n-1] (atraso de uma amostra do degrau).
    • \dfrac{1}{z-\tfrac{1}{2}}=z^{-1}\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}} corresponde a \left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n-1].
  • Assim a resposta forçada (assumindo repouso inicial) é
y_f[n]=2\delta[n]+4\,u[n-1]-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1].
  • Podemos escrever de forma mais direta em índice:
    • Para n<0: y_f[n]=0.
    • Para n=0: y_f[0]=2.
    • Para n\ge1: y_f[n]=4-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.

Resposta

(a) Sim. Os polos são z=\pm\tfrac{1}{2} com |z|=\tfrac{1}{2}<1, portanto o sistema causal é BIBO-estável.
(b) y_f[n]=2\delta[n]+4\,u[n-1]-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1],
ou equivalentemente y_f[0]=2 e y_f[n]=4-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} para n\ge1.

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