Considere um sistema descrito pela equação diferencial,
(a) Este sistema é BIBO-estável? Justifique sua resposta.
(b) Determine a resposta ao impulso deste sistema para condições iniciais nulas.
(c) Calcule a saída do sistema para uma entrada
e condições inicias
e
.
(b) Determine a resposta ao impulso deste sistema para condições iniciais nulas.
(c) Calcule a saída do sistema para uma entrada
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Sistema descrito pela equação diferencial
- Perguntas:
(a) Este sistema é BIBO-estável? Justificar.
(b) Determinar a resposta ao impulso (condições iniciais nulas).
(c) Calcular a saída para(degrau unitário) com condições iniciais e .
Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
- Para encontrar a resposta ao impulso uso a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e depois a transformada inversa.
- Para estabilidade BIBO de um sistema LTI contínuo e causal posso verificar se a resposta ao impulso é absolutamente integrável (ou olhar os polos do sistema).
- Para tratar condições iniciais não nulas, uso as propriedades da transformada de Laplace para derivadas:
Passo 2
Responder (a): definir BIBO e obter a função de transferência (pedaço teórico rápido).
-
Definição prática: um sistema LTI causal é BIBO-estável se a sua resposta ao impulso
é absolutamente integrável, isto é, Equivalentemente, para sistemas lineares com coeficientes constantes, isso ocorre se todos os polos tiverem parte real negativa (polos no semiplano esquerdo), o que garante decaimento exponencial da resposta ao impulso. -
Obter a função de transferência
. Tomando Laplace da equação com condições iniciais nulas ( ) e entrada : Portanto a função de transferência é -
Calcular os polos: resolver
. Ambos os polos têm parte real negativa. Logo o sistema é assintoticamente estável e sua resposta ao impulso decai exponencialmente. -
Concluir BIBO: como os polos têm parte real negativa,
é uma combinação de exponenciais decrescentes e portanto de modo que o sistema é BIBO-estável.
Passo 3
Determinar a resposta ao impulso (b). Vou calcular
com zero-estado (condições iniciais nulas) — isso é a resposta a
.
-
Em
-domínio já temos -
Fazer frações parciais: procurar constantes
e tais que Multiplicando ambos os lados por: Tomandoobtém-se .
Tomandoobtém-se . -
LogoAplicando transformada inversa (relembrando que
):
Passo 4
Resolver (c): saída para
com
. Vou usar Laplace incluindo condições iniciais.
-
Tomar Laplace da equação geral com
e : Substituindo as fórmulas para derivadas:Comoe , isso fica Agrupando: -
Para
tem-se . Assim PortantoVou inverter termo a termo. -
O primeiro termo é exatamente
visto no Passo 3; sua transformada inversa é -
O segundo termo é
. Faço frações parciais: Multiplicando por: Avaliando em pontos convenientes: -
-
AssimInvertendo:
-
A saída total é
. Somando termo a termo: Agrupando os termos exponenciais e a constante:- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Portantoou escrito com degrau unitário: - Coeficiente de
-
Pequena verificação rápida:
(confere) e que coincide com a condição inicial dada.
Resposta
(a) Sim, o sistema é BIBO-estável (polos
e
, resposta ao impulso absolutamente integrável).
(b) .
(c) .
(b)
(c)