Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=\frac{x^{4}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y=\dfrac{x^{4}}{2}.
  • A pergunta é: calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Regra do expoente (regra de potência): para qualquer inteiro ou real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente; a regra diz que para derivar uma potência de x multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em 1.
  • Regra da constante multiplicativa: se c é constante e f(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
Isto significa que constantes podem ser “puxadas para fora” da derivada.

Passo 3

Reescrevo a função para ficar explícita a constante multiplicativa:
y=\frac{x^{4}}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)x^{4}.
Aplicando a regra da constante multiplicativa, a derivada é
y'=\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr).
Agora aplico a regra do expoente com n=4:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.

Passo 4

Substituindo esse resultado:
y'=\frac{1}{2}\cdot 4x^{3}.
Fazendo a simplificação aritmética:
y'=2x^{3}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas útil): usando a definição do limite,
y'=\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{1}{2}(x+h)^{4}-\tfrac{1}{2}x^{4}}{h} =\frac{1}{2}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}.
Expandindo (x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}, ao dividir por h e fazer h\to0 só fica 4x^{3}. Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtém-se novamente 2x^{3}, confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2x^{3}

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