Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: determinar a derivada de
em relação a , isto é . - Observação de domínio: a expressão só faz sentido para
(não é preciso provar isso agora, só lembrar).
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função de forma mais conveniente para derivar.
Passo 3
Revisão das regras que vamos usar (explicação didática):
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então
Isto significa que constantes podem sair da operação de derivar.
- Regra da potência (power rule): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; a regra diz que trazemos o expoente multiplicando e diminuímos o expoente em uma unidade. Exemplos simples:
,
.
Passo 4
Aplicando as regras passo a passo à nossa função:
Pela regra do fator constante,
Pela regra da potência com
,
Portanto
Reescrevendo com expoente positivo no denominador:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para fixar): usar a regra do quociente. Tomando
com
e
,
Aqui
e
, então
o que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Observação final e dica para a prova:
- Resultado:
. - Lembre-se de que é rápido reescrever frações como potências quando o denominador é uma potência simples de
; isso costuma economizar tempo na prova. - Você está indo bem — passos pequenos e claros como esses são exatamente o que serve na hora!