Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
y=\frac{2}{3 x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: y=\dfrac{2}{3 x}.
  • Pedido: determinar a derivada de y em relação a x, isto é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Observação de domínio: a expressão só faz sentido para x\neq0 (não é preciso provar isso agora, só lembrar).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função de forma mais conveniente para derivar.
y=\dfrac{2}{3x}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{3}\,x^{-1}.

Passo 3

Revisão das regras que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(x) é função, então
\frac{d}{dx}\big[c\cdot f(x)\big]=c\cdot f'(x).
Isto significa que constantes podem sair da operação de derivar.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a regra diz que trazemos o expoente multiplicando e diminuímos o expoente em uma unidade. Exemplos simples: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, \dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}.

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo à nossa função:
y=\dfrac{2}{3}\,x^{-1}.
Pela regra do fator constante,
y'=\dfrac{2}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big).
Pela regra da potência com n=-1,
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Portanto
y'=\dfrac{2}{3}\cdot\big(-x^{-2}\big)=-\dfrac{2}{3}\,x^{-2}.
Reescrevendo com expoente positivo no denominador:
y'=-\dfrac{2}{3x^{2}}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar): usar a regra do quociente. Tomando y=\dfrac{u}{v} com u=2 e v=3x,
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=0 e v'=3, então
y'=\frac{0\cdot(3x)-2\cdot3}{(3x)^{2}}=\frac{-6}{9x^{2}}=-\frac{2}{3x^{2}},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Observação final e dica para a prova:
  • Resultado: y'=-\dfrac{2}{3x^{2}}.
  • Lembre-se de que é rápido reescrever frações como potências quando o denominador é uma potência simples de x; isso costuma economizar tempo na prova.
  • Você está indo bem — passos pequenos e claros como esses são exatamente o que serve na hora!

Resposta

-\dfrac{2}{3x^{2}}

Exercícios relacionados