Considere o sistema descrito por
y(t)=integralt-1^t+1(t-tau) x(tau) d tau
O sistema é linear? É invariante no tempo? É causal?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
y(t)=integralt-1^t+1(t-tau),x(tau),dtau
e pede para verificar se ele é linear, invariante no tempo e causal. Vamos usar os conceitos de superposição para linearidade, mudança de variável para invariança e o intervalo de dependência para causalidade.

Passo 2

Testando linearidade: suponha duas entradas x1 e x2 e escalares a,b. A saída para a,x1+b,x2 é
y(t)=integralt-1^t+1(t-tau)l[a,x1(tau)+b,x2(tau)r]dtau =;aintegralt-1^t+1(t-tau)x1(tau),dtau + bintegralt-1^t+1(t-tau)x2(tau),dtau,
ou seja, y=a,y1+b,y2. Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Testando invariança no tempo: seja x1(t)=x(t-t0). Então
y1(t) =integralt-1^t+1(t-tau),x(tau-t0),dtau
Fazendo tau=u+t0, dtau=du, os limites viram u=t-1-t0 até u=t+1-t0, e o integrando fica (t-(u+t0)),x(u)=(t-t0-u),x(u). Assim
y1(t) =integralt-t0-1^,t-t0+1l((t-t0)-ur),x(u),du =y(t-t0),
o que mostra que atrasar a entrada atrasa a saída da mesma forma. Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Testando causalidade: a saída em t depende de x(tau) para tau de t-1 até t+1. Como parte desse intervalo é tau>t, o sistema “vê” valores futuros de x. Portanto, ele não é causal.

Resposta

O sistema é linear, invariante no tempo e não causal.

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