Considere o sistema descrito por
y(t)=integralt-1^t+1(t-tau) x(tau) d tau
Determine a saída y(t) para x(t)=de<a(t)-de<a(t-1)

Passo 1

O enunciado define um sistema cuja saída é
y(t)=integralt-1^t+1(t-tau),x(tau),dtau
e pede y(t) para x(t)=de<a(t)-de<a(t-1).
Aqui vamos usar a propriedade de “sifting” do delta em integrais e determinar para quais valores de t os pontos de massa tau=0 e tau=1 estão dentro dos limites de integração.

Passo 2

Substituímos x(tau)=de<a(tau)-de<a(tau-1) na integral:
y(t) =integralt-1^t+1(t-tau),de<a(tau),dtau ;-;integralt-1^t+1(t-tau),de<a(tau-1),dtau

Passo 3

Pela propriedade do delta,
integralt-1^t+1(t-tau),de<a(tau),dtau =(t-0)se e somente se t-1<=0<= t+1,
isto é, para -1<= t<=1. Fora deste intervalo, essa contribuição é zero. Logo,
integralt-1^t+1(t-tau),de<a(tau),dtau = t, & -1<= t<=1, 0, &caso contrário á

Passo 4

De modo similar,
integralt-1^t+1(t-tau),de<a(tau-1),dtau =(t-1)se e somente se t-1<=1<= t+1,
isto é, para 0<= t<=2. Fora desse intervalo, essa parcela vale zero. Então
integralt-1^t+1(t-tau),de<a(tau-1),dtau = t-1, & 0<= t<=2, 0, &caso contrário á

Passo 5

Agora combinamos as duas contribuições:
y(t) =underbrace t, & -1<= t<=1, 0, &caso contrário do de<a(tau) ;-; underbrace t-1, & 0<= t<=2, 0, &caso contrário do de<a(tau-1) áá
Isso gera a função peça a peça:
y(t)= 0, & t< -1, t, & -1<= t< 0, t-(t-1)=1, & 0<= t<= 1, 0-(t-1)=1-t, & 1< t<= 2, 0, & t>2

Resposta

y(t)= 0, & t< -1, t, & -1<= t< 0, 1, & 0<= t<= 1, 1-t, & 1< t<= 2, 0, & t>2

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