Considere o sistema descrito por
y(t)=integralt-1^t+1(t-tau) x(tau) d tau
Determine a saída y(t) para x(t)=u(t)-u(t-1)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear invariável não‐causal definido por
y(t)=integralt-1^,t+1(t-tau),x(tau),dtau
e pede a saída quando a entrada é
x(t)=u(t)-u(t-1),
isto é, um pulso unitário de duração 1 em [0,1). Para resolver, vamos usar que x(tau)=1 em tauin[0,1) e zero fora, determinando o intervalo de integração efetivo e calculando a integral.

Passo 2

O integrando é não nulo apenas para tauin[0,1). A janela de integração original é tauin[t-1,t+1]. Logo, os limites efetivos são
a(t)=max(0,t-1), b(t)=min(1,t+1),
e y(t)=0 sempre que a(t)>= b(t). Verifica‐se que a(t)<b(t) só para -1<t<2. Fora desse intervalo, y(t)=0.

Passo 3

Para -1<t<2 escrevemos
y(t)=integrala(t)^b(t)(t-tau),dtau =l[t,tau-tfractau^22r]a(t)^b(t) =tl(b-ar);-;tfracb^2-a^22

Passo 4

Caso -1<t<0, temos t-1< -1<0 e t+1in(0,1). Assim a=0, b=t+1. Substituindo,
y(t) =t,(t+1)-tfrac(t+1)^2-02 =tfrac2t^2+2t-(t^2+2t+1)2 =tfract^2-12

Passo 5

Caso 0<= t<1, t-1<0 e t+1>1, vale a=0, b=1. Então
y(t) =t,(1-0)-tfrac1-02 =t-tfrac12

Passo 6

Caso 1<= t<2, t-1>=0 e t+1>1, vale a=t-1, b=1. Logo
y(t) =t,(1-(t-1));-;tfrac1-(t-1)^22 =(2t-t^2)-tfrac1-(t^2-2t+1)2 =tfrac2t-t^22 =tfract,(2-t)2

Resposta

Portanto, a saída é
y(t)= 0, & t<=-1,[6pt] dfract^2-12, & -1<t<0,[6pt] t-dfrac12, & 0<= t<1,[6pt] dfract,(2-t)2, & 1<= t<2,[6pt] 0, & t>=2 ]

Exercícios relacionados