Verifique se o seguinte conjunto é um subespaço do R^3
(x1, x2, x3) in R^3 ; x2=2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x1,x2,x3)inR^3mid x2=2
Para verificar se S é subespaço de R^3, precisamos checar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Testando a presença do vetor zero: o vetor zero em R^3 é (0,0,0). Como sua segunda componente é 0neq2, temos
(0,0,0)notin S
Logo S fracassa já na condição de conter o vetor zero, o que é suficiente para não ser subespaço.

Passo 3

Podemos também notar a falha na multiplicação escalar: tome v=(x1,2,x3)in S e um escalar alpha. Então
alpha v = (alpha x1,alphacdot2,alpha x3) = (alpha x1,2alpha,alpha x3)
Para alphaneq1 a segunda componente 2alphaneq2, logo alpha vnotin S. Falha a condição de fechamento escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de R^3.

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