Verifique se o seguinte conjunto é um subespaço do R^3
(x1, x2, x3) in R^3 ; x1<x3<x2

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = (x1,x2,x3)in R^3mid x1<x3<x2
e pede para verificar se S é subespaço de R^3.
Para isso, lembramos que um subconjunto SsubseteqR^3 é subespaço se e somente se satisfaz três condições:
  1. 0in S.
  2. Se u,vin S então u+vin S.
  3. Se uin S e lambdainR então lambda uin S.

Passo 2

Verificamos a primeira condição, se o vetor zero (0,0,0) pertence a S. Para isso basta checar a desigualdade
x1<x3<x2
quando (x1,x2,x3)=(0,0,0). Isso daria
0 < 0 < 0,
o que é falso. Logo
(0,0,0)notin S
Como um subespaço deve conter o vetor zero, concluímos que S não é subespaço de R^3.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de R^3.

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