Considere o sistema de dois balöes (volume de 100 \mathrm{~cm}^{3} cada) unidos por um capilar de 10 cm . Inicialmente, um dos balões contém hidrogênio (A) e o outro argônio (B) e o capilar fechado. O sistema é isobárico (P=1 \mathrm{~atm}) e isotérmico ( \mathrm{D}_{\text {AB }}=1,40 \mathrm{~cm}^{2} \times atm \times \mathrm{s}^{-1} ). Calcule:
Dado: Constante universal dos gases: \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J}^{3 \mathrm{~mol}^{-1} \times \mathrm{K}^{-1} ; \mathrm{R}=0,082 \mathrm{~atm} \times \mathrm{L}^{-1} \times \mathrm{mol}^{-1} \times \mathrm{K}^{-1} \text { . }
a. Os fluxos molares e os fluxos mássicos de A e B no instante em que o capilar é aberto.
b. A velocidade média mássica, v_{1}, e a velocidade média molar, v_{2}{ }^{\circ}, da mistura.

Passo 1

Temos dois balões idênticos de volume 100,c m^{3} cada, inicialmente um (A) cheio de \mathrm{H}_2 puro e o outro (B) cheio de Ar puro. Eles são conectados por um capilar de comprimento L=10,cm que está inicialmente fechado. Ao abrirmos o capilar, inicia-se difusão sob pressão constante P=1,atm e temperatura constante (assumimos T=298,K). O coeficiente de difusão dado é
D_{AB}=1,40\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{atm}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Queremos, no instante imediatamente após a abertura,
a) os fluxos molares N_A e N_B (em mol c m^{-}²  s^{-}¹) e os fluxos mássicos correspondentes;
b) a velocidade média mássica v_1 e a velocidade média molar v_2 da mistura.

Passo 2

Em difusão binária sob pressão constante há difusão equimolecular com
N_A + N_B = 0.
Pela lei de Fick, o fluxo molar de A é
N_A \;=\;-D_{\rm eff}\;C_{\rm tot}\;\frac{\Delta x_A}{L},
onde
  • \Delta x_A = x_A^{\rm B}-x_A^{\rm A}=0-1=-1, mas o sinal menos de Fick inverte, resultando fluxo de A de A para B;
  • C_{\rm tot}=P/(R\,T) é a concentração total;
  • D_{\rm eff}=D_{AB}\times P converte o coeficiente para \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} (pois D_{AB} está em \mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{atm}/\mathrm{s}).

Passo 3

Calculamos
D_{\rm eff}=D_{AB}\times P =1,40\;\frac{\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{atm}}{\mathrm{s}}\times1\;\mathrm{atm} =1{,}40\;\frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}},
C_{\rm tot}=\frac{P}{R\,T} =\frac{1\;\mathrm{atm}}{0,082\;\mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times298\;\mathrm{K}} =0{,}04095\;\mathrm{mol/L} =4{,}095\times10^{-5}\;\mathrm{mol/cm^3}.

Passo 4

Substituindo em
N_A = -\,D_{\rm eff}\;C_{\rm tot}\;\frac{\Delta x_A}{L} = +\,\frac{1{,}40\;\mathrm{cm^2/s}\;\times4{,}095\times10^{-5}\,\mathrm{mol/cm^3}}{10\;\mathrm{cm}}
N_A =5{,}73\times10^{-6}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.
Como N_B=-N_A,
N_B=-5{,}73\times10^{-6}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.

Passo 5

Os fluxos mássicos são J_{m,i}=N_i\,M_i, usando M_{H_2}=2\;\mathrm{g/mol} e M_{\rm Ar}=40\;\mathrm{g/mol}:
J_{m,A} =5{,}73\times10^{-6}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm^2\cdot s}} \times2\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}} =1{,}15\times10^{-5}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^2\cdot s}},
J_{m,B} =-5{,}73\times10^{-6}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm^2\cdot s}} \times40\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}} =-2{,}29\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.

Passo 6

A velocidade molar média da mistura é
v_2 =\frac{N_A+N_B}{C_{\rm tot}} =0,
pois N_A+N_B=0.
A velocidade mássica média é
v_1 =\frac{J_{m,A}+J_{m,B}}{\rho_{\rm m}},
onde a densidade média no capilar (assumindo mistura linear em x_A de 1 a 0) é
\rho_{\rm m} =C_{\rm tot}\bigl(\bar x_A M_{A}+\bar x_B M_B\bigr),
com \bar x_A=\bar x_B=0{,}5. Logo
\rho_{\rm m} =4{,}095\times10^{-5}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm^3}} \times\bigl(0{,}5\times2+0{,}5\times40\bigr)\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}} =8{,}60\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}.
E o numerador
J_{m,A}+J_{m,B} =1{,}15\times10^{-5}-2{,}29\times10^{-4} =-2{,}18\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.
Portanto
v_1 =\frac{-2{,}18\times10^{-4}}{8{,}60\times10^{-4}} \approx -0{,}25\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}
(o sinal negativo indica que o fluxo mássico resultante vai de B para A).

Resposta

a. Fluxos molares
N_A=+5{,}73\times10^{-6}\;\mathrm{mol/cm^2\cdot s}, \quad N_B=-5{,}73\times10^{-6}\;\mathrm{mol/cm^2\cdot s}.
Fluxos mássicos
J_{m,A}=1{,}15\times10^{-5}\;\mathrm{g/cm^2\cdot s}, \quad J_{m,B}=-2{,}29\times10^{-4}\;\mathrm{g/cm^2\cdot s}.
b. Velocidade média mássica
v_1\approx -0{,}25\;\mathrm{cm/s},
velocidade média molar
v_2=0.

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