Nos problemas de 1 a 8 , resolva a equação diferencial dada.
y^{\prime}=\left(3 x^{2}-1\right) /(3+2 y).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{3x^2-1}{3+2y},
que é de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar y e x em lados diferentes e então integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
(3+2y)\,\mathrm{d}y = (3x^2-1)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int (3+2y)\,\mathrm{d}y = \int (3x^2-1)\,\mathrm{d}x.
No lado esquerdo,
\int 3\,\mathrm{d}y = 3y, \qquad \int 2y\,\mathrm{d}y = y^2,
e no lado direito,
\int 3x^2\,\mathrm{d}x = x^3, \qquad \int (-1)\,\mathrm{d}x = -x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a solução implícita
3y + y^2 = x^3 - x + C.

Passo 5

Para explicitar y, considere a equação quadrática em y:
y^2 + 3y - \bigl(x^3 - x + C\bigr) = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4\bigl(x^3 - x + C\bigr)}}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4\bigl(x^3 - x + C\bigr)}}{2},
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados