Considere o sistema de EDOs:
.
Determine a solução complementar
Xc(t) , pelo método dos autovalores.
Determine a solução complementar
Passo 1
Neste exercício, temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem representado por:
Vamos determinar a solução complementar
Xc(t) utilizando o método dos autovalores.
Passo 2
Para encontrar a solução complementar
Xc(t) , precisamos resolver a equação homogênea associada:
Aqui, vamos usar o método dos autovalores, que envolve encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Primeiro, encontramos os autovalores
lambda resolvendo o determinante:
Isso resulta em:
Passo 4
Calculando o determinante:
Expandindo:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são
lambda1 = 3 e
lambda2 = -3 .
Passo 6
Agora, para cada autovalor, encontramos o vetor próprio correspondente
v , resolvendo:
Vamos calcular para
lambda1 = 3 :
Substituindo:
Resolvendo
-2v1 + 8v2 = 0 , podemos tomar
v2 = 1 , então
v1 = 4 .
Portanto, o vetor próprio para
lambda1 = 3 é
v1 = 4 1 .
Passo 7
Fazendo o mesmo para
lambda2 = -3 :
Substituindo:
Resolvendo
4v1 + 8v2 = 0 , podemos tomar
v2 = 1 , então
v1 = -2 .
Portanto, o vetor próprio para
lambda2 = -3 é
v2 = -2 1 .
Passo 8
Com os autovalores e vetores próprios, a solução complementar
Xc(t) é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A solução complementar é: