Considere o sistema de EDOs: X^prime=(cc1 & 8 1 & -1) X+binom66.
Determine a solução complementar Xc(t), pelo método dos autovalores.

Passo 1

Neste exercício, temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem representado por:
X' = 1 & 8 1 & -1 X + 6 6
Vamos determinar a solução complementar Xc(t) utilizando o método dos autovalores.

Passo 2

Para encontrar a solução complementar Xc(t) , precisamos resolver a equação homogênea associada:
X' = 1 & 8 1 & -1 X
Aqui, vamos usar o método dos autovalores, que envolve encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Primeiro, encontramos os autovalores lambda resolvendo o determinante:
det( 1 & 8 1 & -1 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = 0
Isso resulta em:
det1 - lambda & 8 1 & -1 - lambda = 0

Passo 4

Calculando o determinante:
(1 - lambda)(-1 - lambda) - (8)(1) = 0
Expandindo:
lambda^2 - 9 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 9 = 0 lambda^2 = 9 lambda = pm 3
Portanto, os autovalores são lambda1 = 3 e lambda2 = -3 .

Passo 6

Agora, para cada autovalor, encontramos o vetor próprio correspondente v , resolvendo:
( 1 & 8 1 & -1 - lambda I ) v = 0
Vamos calcular para lambda1 = 3 :
Substituindo:
1 - 3 & 8 1 & -1 - 3 = -2 & 8 1 & -4
Resolvendo -2v1 + 8v2 = 0 , podemos tomar v2 = 1 , então v1 = 4 .
Portanto, o vetor próprio para lambda1 = 3 é v1 = 4 1 .

Passo 7

Fazendo o mesmo para lambda2 = -3 :
Substituindo:
1 - (-3) & 8 1 & -1 - (-3) = 4 & 8 1 & 2
Resolvendo 4v1 + 8v2 = 0 , podemos tomar v2 = 1 , então v1 = -2 .
Portanto, o vetor próprio para lambda2 = -3 é v2 = -2 1 .

Passo 8

Com os autovalores e vetores próprios, a solução complementar Xc(t) é dada por:
Xc(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores:
Xc(t) = c1 e^3 t 4 1 + c2 e^-3 t -2 1

Resposta

A solução complementar é:
Xc(t) = c1 e^3 t 4 1 + c2 e^-3 t -2 1

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