Considere o sistema de EDOs: X^prime=(cc1 & 8 1 & -1) X+binom66.
Determine a solução particular Xp(t), pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular Xp(t) do sistema
X' = A,X + b
onde
A = 1 & 8 1 & -1, b = 66,
usando o método da variação dos parâmetros.
O conteúdo envolvido é: encontrar a matriz fundamental Phi(t) do sistema homogêneo X'=A,X, usar Phi^-1(t),b para obter u'(t) e então montar Xp(t)=Phi(t),u(t).

Passo 2

Primeiro, resolvemos o homogêneo X'=A,X. O polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=lambda^2-9=0,
logo os autovalores são lambda1=3 e lambda2=-3.
Para lambda1=3 a equação (A-3I)v=0 dá o autovetor
v1=41,
e para lambda2=-3 a equação (A+3I)v=0
v2=-21
Assim a matriz fundamental é
Phi(t)=l[v1e^3t;;v2e^-3tr] = 4e^3t & -2e^-3t[6pt] e^3t & e^-3t
]

Passo 3

Calculamos Phi^-1(t). Como detPhi(t)=6 constante,
Phi^-1(t) =16 e^-3t & 2e^-3t[4pt] -,e^3t & 4e^3t
Em seguida obtemos
u'(t)=Phi^-1(t),b =16 e^-3t & 2e^-3t[4pt] -,e^3t & 4e^3t 66 =3e^-3t[4pt]3e^3t
]

Passo 4

Integramos componente a componente para achar u(t):
u(t)=integral u'(t),dt =integral3e^-3t3e^3tdt =-e^-3t[4pt]e^3t
(ignoramos constantes de integração, pois só queremos uma particular).]

Passo 5

Finalmente,
Xp(t)=Phi(t),u(t) = 4e^3t & -2e^-3t[6pt] e^3t & e^-3t -e^-3t[4pt]e^3t =-60
Verifica-se que Xp'(t)=0 e A,Xp+b=(0,0)^T, como desejado.]

Resposta

A solução particular pelo método da variação dos parâmetros é
Xp(t) =-60

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