Considere o sistema de equações diferenciais lineares de segunda ordem:
x^{\prime \prime}(t)=-6 x(t)+2 y(t) ; \quad y^{\prime \prime}(t)=2 x(t)-2 y(t)+4 \operatorname{sen} 2 t .
Escreva o sistema anterior como um sistema de 4 equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de EDOs lineares de segunda ordem em x(t) e y(t):
x''(t)=-6x(t)+2y(t), \quad y''(t)=2x(t)-2y(t)+4\sin2t.
O objetivo é transformar esse sistema em um sistema de quatro equações de primeira ordem.

Passo 2

Para converter equações de segunda ordem em um sistema de primeira ordem, introduzimos variáveis de estado que representem cada função e sua derivada primeira. Definimos:
x_1(t)=x(t),\quad x_2(t)=x'(t),\quad x_3(t)=y(t),\quad x_4(t)=y'(t).

Passo 3

Usando essas definições, escrevemos as duas primeiras equações de primeira ordem:
x_1'(t)=x_2(t),
x_2'(t)=x''(t)=-6\,x(t)+2\,y(t)=-6\,x_1(t)+2\,x_3(t).

Passo 4

De modo análogo, obtemos as duas últimas equações:
x_3'(t)=x_4(t),
x_4'(t)=y''(t)=2\,x(t)-2\,y(t)+4\sin2t=2\,x_1(t)-2\,x_3(t)+4\sin2t.

Resposta

O sistema de primeira ordem equivalente é
\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = -6\,x_1 + 2\,x_3,\\\ x_3' = x_4,\\\ x_4' = 2\,x_1 - 2\,x_3 + 4\,\sin2t. \end{cases}

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