Um sistema massa-mola livre sem amortecimento é descrito pela equação diferencial m u^{\prime \prime}+k u=0.
(a) Transforme a equação acima em um sistema de equações diferenciais equivalente fazendo x_{1}(t)=u(t) e x_{2}(t)=u^{\prime}(t).
(b) Resolva o sistema homogêneo do item anterior e obtenha u(t) a solução da equação diferencial m u^{\prime \prime}+k u=0.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento, cuja equação é
m\,u''(t)+k\,u(t)=0.
O conteúdo é a transformação desta EDO de segunda ordem num sistema de primeira ordem e, em seguida, a resolução do sistema para obter a forma geral de u(t). Usaremos a definição
x_{1}(t)=u(t),\quad x_{2}(t)=u'(t),
além de métodos de autovalores para sistemas lineares.

Passo 2

Definindo \,x_{1}=u e \,x_{2}=u', temos
x_{1}'=u'=x_{2},
e derivando \,x_{2}=u' obtemos
x_{2}'=u''=-\frac{k}{m}\,u=-\frac{k}{m}\,x_{1}.
Logo o sistema equivalente é
\begin{cases} x_{1}'=x_{2},\\\ x_{2}'=-\dfrac{k}{m}\,x_{1}. \end{cases}

Passo 3

Escrevendo em forma matricial x' = A\,x com
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -\tfrac{k}{m} & 0 \end{pmatrix},
o polinômio característico é
\det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\\ -\tfrac{k}{m} & -\lambda \end{pmatrix} =\lambda^{2}+\frac{k}{m}=0,
de onde surgem os autovalores
\lambda_{1,2}=\pm i\,\omega,\quad\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 4

Para \lambda_{1}=i\omega um autovetor é v_{1}=(1,i\omega)^{T} e para \lambda_{2}=-i\omega um autovetor é v_{2}=(1,-i\omega)^{T}. Assim a solução complexa geral do sistema é
x(t)=C_{1}\,v_{1}e^{i\omega t}+C_{2}\,v_{2}e^{-i\omega t}.
Convertendo para solução real, usa-se a combinação linear de cosenos e senos.

Passo 5

Extraindo a primeira componente x_{1}(t)=u(t) e trocando constantes, obtemos a forma real geral
u(t)=A\cos\!\Bigl(\omega\,t\Bigr)+B\sin\!\Bigl(\omega\,t\Bigr),
onde \omega=\sqrt{k/m} e A,B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

(a)
\begin{cases} x_{1}'=x_{2},\\\ x_{2}'=-\dfrac{k}{m}\,x_{1}. \end{cases}
(b)
u(t)=A\cos\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\Bigr)+B\sin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\Bigr),
com A e B constantes arbitrárias.

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