Um sistema massa-mola livre sem amortecimento é descrito pela equação diferencial m u^{\prime \prime}+k u=0.
(a) Transforme a equação acima em um sistema de equações diferenciais equivalente fazendo x_{1}(t)=u(t) e x_{2}(t)=u^{\prime}(t).
(b) Resolva o sistema homogêneo do item anterior e obtenha u(t) a solução da equação diferencial m u^{\prime \prime}+k u=0.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento, cuja equação é
m\,u''(t)+k\,u(t)=0.
O conteúdo é a transformação desta EDO de segunda ordem num sistema de primeira ordem e, em seguida, a resolução do sistema para obter a forma geral de u(t). Usaremos a definição
x_{1}(t)=u(t),\quad x_{2}(t)=u'(t),
além de métodos de autovalores para sistemas lineares.
Para \lambda_{1}=i\omega um autovetor é v_{1}=(1,i\omega)^{T} e para \lambda_{2}=-i\omega um autovetor é v_{2}=(1,-i\omega)^{T}. Assim a solução complexa geral do sistema é