As equações de movimento de um sistema massa-mola de dois graus de liberdade (sem amortecimento) estão dadas por:
\begin{gathered} m_{1} y_{1}^{\prime \prime}(t)=\left(k_{1}+k_{2}\right) y_{1}(t)+k_{2} y_{2}(t) \\\ m_{2} y_{2}^{\prime \prime}(t)=-k_{2} y_{1}(t)-k_{2} y_{2}(t) \end{gathered}
onde m_{1}, m_{2} denotam as massas dos corpos e k_{1} e k_{2} as constantes de eslasticidade das molas.
Transforme este sistema de ordem 2 em um sistema linear de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem para as variáveis \,y_{1}(t) e \,y_{2}(t), sem amortecimento. O conteúdo aqui é transformação de um sistema de ordem 2 em um sistema de primeira ordem (forma de espaço de estado). Para isso, vamos precisar definir variáveis de estado que incluam as posições e velocidades.

Passo 2

Definimos o vetor de estado \mathbf{x}(t) com as variáveis originais e suas derivadas de primeira ordem:
x_{1}(t)=y_{1}(t),\quad x_{2}(t)=y_{2}(t),\quad x_{3}(t)=y_{1}'(t),\quad x_{4}(t)=y_{2}'(t).
Esse passo duplica o número de equações, passando de 2 equações de segunda ordem para 4 de primeira ordem.

Passo 3

Agora escrevemos cada derivada de x_{i} em função de \mathbf{x}:
x_{1}'(t)=x_{3}(t),\quad x_{2}'(t)=x_{4}(t).
Pelas equações fornecidas:
m_{1}\,y_{1}''=\bigl(k_{1}+k_{2}\bigr)y_{1}+k_{2}y_{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}'(t)=\frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}}\,x_{1}(t)+\frac{k_{2}}{m_{1}}\,x_{2}(t),
m_{2}\,y_{2}''=-k_{2}y_{1}-k_{2}y_{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{4}'(t)=-\frac{k_{2}}{m_{2}}\,x_{1}(t)-\frac{k_{2}}{m_{2}}\,x_{2}(t).

Passo 4

Em forma matricial, juntamos as quatro equações em
\mathbf{x}'(t) = \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}} & \frac{k_{2}}{m_{1}} & 0 & 0\\\\ -\frac{k_{2}}{m_{2}} & -\frac{k_{2}}{m_{2}} & 0 & 0 \end{pmatrix} }_{A} \mathbf{x}(t).
Essa é a forma de sistema linear de primeira ordem (espaço de estado), onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}.

Resposta

\mathbf{x}'(t) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\ \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}} & \frac{k_{2}}{m_{1}} & 0 & 0\\\\ -\frac{k_{2}}{m_{2}} & -\frac{k_{2}}{m_{2}} & 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(t)= \begin{pmatrix} y_{1}(t)\\\ y_{2}(t)\\\ y_{1}'(t)\\\ y_{2}'(t) \end{pmatrix}.

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